SÉANCE DU '2[\ JUIN 1912. 1787 



on peut égaloiiient traiter ainsi le cas où le second membre de (^,) n'est pas 

 linéaire en : et -^ • 



(JX 



b. Si p est impair, la solution de (3) est déterminée, au-dessus du con- 

 tour qui porte les données, dans la région qui est à droite de G y, et 

 au-dessous, dans la région qui est à gauche. Pour avoir une solulion régu- 

 lière dans un domaine traversé par l'axe des y, il faut examiner si deux 

 solutions, déterminées dans deux régions admettant une portion de l'axe 

 des V comme fionticre commune, peuvent se raccorder, c'est-à-ilire prendre, 

 ainsi que leurs dérivées premières, la même valeur sur Oy. On reconnaît 

 alors que la solution de ce problème revient à celle d'un système d'équations 

 intégrales qui, dans les cas les ])lus simples, peut se réduire à une équation 

 de Fredholm de première espèce à noyau fermé. 



II. Si la ligne L est une caractéristique, l'équation peut s'écrire 



d'^ " t); dz y , _,_ . 



Si nous prenons, par exemple, l'équation 



la solulion fondamentale est 



dx^ ^dy^""' 



1 -lilnil! 



au-dessus de 0.r; si une solution, régulière au voisinage de Ox, se réduit 



sur ().r à une fonction continue, celle-ci ne peut être que linéaire : pour 



un contour limité inférieureiuent par une portion AB de Ox, la solution 



prendra sur AB des valeurs correspondant à une interpolation linéaire. 



Les résultats sont analogues pour le demi-plan inférieur. 



Quant à Téquation 



d^ z dz 



ses solutions régulières présentent le même caractère que plus haut surO.r; 

 mais ici la disposition des contours portant les données permet de résoudre, 

 pour un contour fermé coupant O.i', un rentable problème de Dirichlel. 

 Ces résultats s'étendent à l'équation (4) si /> est impair : suivant le signe 



