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CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur V étude asymptotiqiie des fonctions 

 mèromorphes. Note de M. Emile Borel, présentée par M. H. Poincaré. 



« Dans la remarquable Thèse qu'il a récemment soutenue (' ), M. Pierre 

 Boulroux a développé d'intéressantes applications d'une méthode dont il 

 avait antérieurement indiqué le principe (-). Cette méthode n'est pas sans 

 analogie avec celle à laquelle j'ai donné le nom de méthode d' exclusion ; 

 mais elle est loin d'en constituer une extension banale et facile; elle s'en 

 distingue par l'introduction d'un principe entièrement nouveau. Je voudrais 

 indiquer un théorème auquel conduit cette méthode de M. Pierre Boutroux, 

 que j'appellerai méthode d'exclusion généralisée. 



» Je rappelle d'abord en quoi consiste la méthode d'exclusion, à laquelle 

 j'ai été conduit par l'étude des fonctions analytiques à l'intérieur d'un 

 espace lacunaire. 



rt Partant des singularités des fonctions étudiées, on entoure chacune 

 d'elles d'un domaine qui sera regardé comme exclu du plan; le principe 

 de la méthode consiste dans l'évaluation des dimensions linéaires et super- 

 ficielles de ces domaines, d'où l'on conclut l'existence d'aires non exclues 

 et de lignes dont aucun point n'est exclu. La première application de cette 

 méthode à la théorie des fonctions entières a consisté dans l'extension 

 d'un théorème important de M. Hadamard sur le module minimum d'une 

 fonction entière; cette extension, qui précise les valeurs des intervalles 

 dans lesquels on peut choisir le rayon d'un cercle sur lequel la fonction 

 n'est pas inférieure au minimum fixé, élargit beaucoup le champ des applica- 

 tions du théorème de M. Hadamard, tout en en donnant une démonstration 

 très simple, susceptible de généralisations diverses. En fait, de nombreuses 

 applications, qu'il serait trop long d'énumérer, ont été faites de la méthode 

 à la théorie des fonctions entières et mèromorphes. 



» On peut diviser ces applications en deux catégories, suivant que l'on 

 y considère simultanément des domaines exclus en nombre fini ou infini. 



(') Sur quel(jues propriétés des fondions entières {T/ièse soutenue le 24 dé- 

 cembre 1908, à la Sorbonne). Ce Mémoire paraîtra prochainement dans les Acta 

 nialkematica. 



(-) Comptes rendus, 30 janvier 1902. 



