SÉANCE DU II JANVIER 1904. 69 



Pour les applications de la première catégorie, il suffit d'utiliser les pro- 

 priétés fondamentales des notions de longueur et d'aire; pour les applica- 

 tions de seconde catégorie, il faut faire usage d'un théorème relatif à la 

 mesure des ensembles sur lequel j'ai, à diverses reprises, attiré l'attention. 



» La généralisation de M. Pierre Boutroux consiste essentiellement à 

 tenir compte, dans l'exclusion des domaines avoisinant les points singu- 

 liers, de la condensation de ces points, lorsque cette condensation dépasse 

 la moyenne; on augmente alors le domaine exclu et, par une analyse fticile 

 dans le cas d'une seule dimension, plus délicate dans le cas de plusieurs 

 dimensions ('), on arrive à montrer que, dans les parties non exclues, la 

 fonction se comporte comme si la distribiition des singularités était régulière. 



M Ceci posé, il est clair que les applications de la méthode d'exclusion 

 généralisée pourront aussi être divisées en deux catégories; M. Boutroux 

 s'est borné jusqu'ici aux applications de la première catégorie ; je voudrais, 

 sans entrer dans le détail de la démonstration, donner un exemple des 

 résultats que l'on peut obtenir dans les applications de la seconde caté- 

 gorie. 



» Théorème : Soit 0(g) la dérivée logarithmique d'une fonction entière 

 d'ordre p ; on peut, dans tout angle aussi petit que l'on veut, tracer une infinité 

 de droites telles que l'on ait, sur chacune d'elles, 



|6(,::)|<A|^|^^% 



£ désignant un nombre positif arbitraire et k une constante. 



)) Ce théorème pourrait d'ailleurs être généralisé et précisé par l'em- 

 ploi des méthodes ingénieuses et profondes exposées dans la Thèse de 

 M. Boutroux; je ne m'y étendrai pas. Remarquons cependant que la limi- 

 tation ainsi obtenue sur des droites est nécessairement plus élevée que celle 

 que l'on peut obtenir sur des courbes dont on ne précise pas l'allure, ou 

 dans des aires indéfiniment éloignées. Par contre, la précision ainsi 

 introduite dans l'énoncé paraît devoir présenter des avantages dans cer- 

 taines applications. M 



(*) M. Pierre Boutroux s'est borné au cas de deux dimensions; il n'y aurait pas de 

 difficultés à étendre au cas de n dimensions ses ingénieuses considérations. 



