SÉANCE DU 18 JANVIER (904. 



avec les variables x^, x.,, ..., x,^. 



Kl.) 



(0 



x;;, = o, X '; = o, 



^im^ — o» 



'(ni) 



linéairement indépendantes. 



» Pour étendre l'idée de la complète intégrabililé, on rencontre ici tout 

 d'abord une considération qui ne se présente pas pour /•= i. 



» Pour r= 1 on peut dire : le système (i) est complètement intégrable 

 s'il existe m fonctions indépendantes o,, ..., o,„de^,,^2» ..., .37,j telles que 



(-) 



2 l'-is^X = ti'h {s = i,2,. ..,m). 



/=i 



En indiquant avec X(^),, X(^o, ..., X^^^les coefficients de X^^), on déduit 

 de (2) que 



(3) 



y-cs 



X 



(c)h 



dx,, 



S = I , 2 , . , . , 7?2 



/i = i, 1, . . ., n 



et, par là, les o, étant indépendantes, le déterminant des y,, | y.^^ | ne peut 

 être nul. On peut donc substituer aux formules (2) les suivantes : 



(4) 



X,'; = V>.,^r/(pç (/ = I, 2, . . ., m), 



.*=3l 



et alors l'indépendance des o,, résulte directement de l'indépendance 

 linéaire des X(^), car on tire de (4) 



(5) l|x„.||-'^ 'l'^''-^- 



X 



àxf, 



» Pour /• = I les deux définitions, c'est-à-dire celle des formules (2) 

 (avec la condition que les a^^ sont indépendantes) et celle des formules (4), 

 coïncident, mais il en est autrement pour r^i. Dans ce cas, si nous 

 posons 



(6) 



^['-cs^iD 



f^'"?5» 



/ = 1 



avec la condition des <p^ indépendantes, les relations (3) ayant encore lieu 

 (où l'on entend par X^t)h ^^s coefficients des d'\v,^ en X|^|), on en déduit : 



(7) 



X|fl=2'-.<f'''?«i 



