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mais alors on ne déduit plus des relations (7) que les cp^ sont indé{)en- 

 dantes, car de l'indépendance linéaire des X^^. on ne déduit pas que la 

 matrice des seuls premiers coefficients || X(; /^ || soit différente de zéro. De 

 rindéj)cndance linéaire des Xj^^ on déduit que le déterminant |l^^ | ne peut 

 pas être nul. 



» Si donc nous disons que le système (i) est complètement intégrable 

 quand sont satisfaites les relations (7), nous donnons une définition plus 

 étendue qui comprend, en particulier, le cas où les cp^. sont fonctions indé- 

 pendantes. 



» En formant les 



II 



/, =1 



avec les conditions 



/( 



(8) A(,)=V E;..X(,,A=-- O (^ = 1,2, ...,/7i), 





on a les transformations infinitésimales chi système adjoint au système (i), et 

 nous dirons en outre que le système (1) admet une transformation infinité- 

 simale ^, alors que ^Xf^^ est une combinaison linéaire des X(,j. 



» Or je dis que si le système (1) est complètement intégrable, il admet 

 toutes les transformations infinitésimales du système adjoint. 



M En effet, de (8), en substituant à X(;;/. sa valeur donnée de {']), on a 



^l,,Z(p,= o, 



t — V 



et le déterminant des l.^ n'élant pas nul, on a ^^9^=^ o. Mais 



d'où, ayant 



/=i 1^1 



2f/''(p^= d''E(^c= «» 



on déduit le théorème, en substituant aux c/'o^ leurs expressions au moyen 

 des X(;) données par les relations (7). » 



