SÉANCE DU 18 JANVIER I904. 187 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le genre de la dérivée d'une Jonc lion entière 

 et sur le cas d'exception de M. Picard. Note de M. A. WniAx. 



« Laguerre, qui a introduit la notion de genre d'une fonction entière, a, 

 dans des cas particuliers, prouvé que le genre de la dérivée est égal à celui 

 de la fonction ('). On a généralement admis que cette propriété subsiste dans 

 tous les cas, bien que personne n'ait réussi à en trouver la démonstration. 

 Or, nons avons prouvé qu'il n'en est pas ainsi. Au contraire, il existe des 

 fonctions Y {z) + c de genre p dont la dérivée F' (g) est de genre p — i- Dans 

 ces cas exceptionnels il n'y a quune valeur c telle que le genre de Y (^z^ -\- c se 

 réduit à p — i . Par exemple, la fonction 



2 



est bien de genre un, la dérivée, d'après une proposition, connue de 

 Laguerre, étant de genre zéro. 



)) C'est là un fait qui peut être regardé comme corollaire d'un théorème 

 que nous allons énoncer sur les fonctions entières telles que M(/") dési- 

 gnant le maximum du module de la fonction, le genre n'est pas déterminé 

 par le mode de croissance de M(r). Que de telles fonctions peuvent, en 

 réalité, se présenter a été établi, comme l'on sait, par MM. Boutroux 

 et Lindelof, et ces auteurs ont utilisé ce résultat pour constater que la 

 somme de deux fonctions de genre p — i [)eut bien être une fonction de 

 genre/) (-). Or, nous avons trouvé que l'on peut compléter ces résultats 

 par le théorème suivant : 



» Soie F (::) une fonction entière de genre p — i et d'ordre apparent p, et 

 désignons parf(z) une fonction quelconque d'ordre apparent inférieur à p. 

 Supposons en outre qu'il ne suffit pas pour déterminer le genre de la fonc- 

 tion F (s) de connaître le mode de croissance de son module maximum. Le 

 genre de la fonction Y (^z^ -\-f (^z^ est alors clans tous les cas égal à p. 



(') Voir l'exposition des idées de Laguerre par M. Borel dans son livre, Leçons sur 

 les fondions entières, Paris, 1900. 



(^) Voir, outre des Notes insérées dans les Comptes rendus (1901-1902), Llndelof, 

 Mémoire su/- la théorie des/onctions entières d'ordre fini {Act. Soc. Se. Fenn., 1902), 

 et la thèse de M. Boutrouv qui \ a paraître dans les Acta mathematica. 



