ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 25 JANVIER 1904, 



PRÉSIDENCE DE M. MASCART. 



MEMOIRES ET COMMUNICATIOJMS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur cerLaiiics solutions doublement périodiques 

 de quelques équations aux dérivées partielles. Note de M. Emile Picard. 



« 1. L'étude des solutions périodiques des équations différentielles 

 linéaires ordinaires a fait depuis longtemps Tobjet de bien des recherches, 

 et tout récemment, dans une thèse intéressante (^Randwertaufgahen bei 

 gewôhnlichen Differentialgleichungen ; G'ôliin^en , iC)o3) , M. Mason est arrivé 

 à d'importants résultats, en prenant comme point de départ la remarquable 

 méthode de M. Freedholm pour la résolution de certaines équations fonc- 

 tionnelles. A cause de l'actualité de ce genre de questions, je crois donc 

 utile de rappeler, en les complétant, certains résultats, que j'ai précédem- 

 ment obtenus, relatifs aux solutions doublement périodiques de quelques 

 équations aux dérivées partielles du second ordre. 



M 2. Je me suis pro[)osé (^Bulletin de la Société mathématique, t. XXVIII, 

 1900, p. 186) la question suivante : 



» Etant donnée l'équation 



/ N d- u ù-u ,., 



(') 5:^ + 1^='^'" 



{où k^ est une constante positive), trouver l'intégrale u de cette équation, admet- 

 tant la période a pour x et b pour y, bien déterminée et continue, sauf en cer- 

 tains points (^a-i, [3^) et leurs homologues dans tous les parallélogrammes de 

 périodes, où u possède un infini logarithmique caractérisé par un coefficient 

 donné. Cette intégrale est unique. A cause de la forme linéaire de V équation, 

 il suffira de considérer le cas d'un seul point singulier (a, (3). 



» On trouve alors la solution suivante, en supposant, comme il est per- 



C. R., 190^, 1" Semestre. (T. CXXWIII, N«4.) 24 



