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mis, ^*- = I. Posons 



m i=-l- 00 H=+ 00 



Q{z.,x,y)= 2 Z 



:v''(.f— a— ;"«)»+0— [i-''û|- 



III ^^ 00 /( Z^ 00 



cette fonction est définie pour z négatif. Formons alors rexj3ression 



"(^.7)=/ \fzr— — 



Ce sera l'intégrale cherchée, doublement périodique, et continue sauf aux 

 ])oints (x + ?na, p H- nb^, où elle devient infmie d'une manière logarith- 

 mique avec un coefficient facile à calculer. 



» 3. Le problème précédent est susceptible d'être généralisé. Envisa- 

 geons l'équation 



ô^u d'il . / N 

 ^ + ^. =A(^,j).«, 



où A(x,y) est une fonction continue toujours posilive de x çA,y avec les 

 périodes a pour x et b pour y. 



» Il ne peut exister qu'une seule intégrale u de cette équation, double- 

 ment périodique avec les périodes a et b, bien déterminée et continue, 

 sauf en certains points (a^, (3,) et leurs homologues, où u possède des infinis 

 de type logarithmique, caractérisés par des coefficients donnés. L'existence 

 de cette intégrale peut se démontrer directement, en modifiant convena- 

 blement les procédés suivis par M. Schwarz dans la théorie des fonctions 

 d'une variable complexe. 



» Le problème précédent n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'un pro- 

 blème que j'ai traité antérieurement dans une Note (') : Sur l'équilibre 

 calorifique d'une surf ace fermée rayonnant au dehors. La question ci-dessus 

 revient au cas particulier de l'équilibre calorifique sur un tore, pour lequel 

 le pouvoir émissif varie suivant une loi convenable, reliée à A(^, j) d'une 

 manière simple. Les infinis logarithmiques correspondent visiblement aux 

 sources de chaleur. 



» 4. Un problème d'une tout autre nature, relatif aux solutions pério- 



(') Sur V équilibre calorifique d'une surface fermée rayonnant au dehors 

 {Comptes rendus, 5 juin igoo). Pour plus de détails sur !a nature des singularités on 

 pourra consulter ma Note des Comptes rendus, i juin igoS. 



