SÉANCE DU 25 JANVIER ipo/]. l83 



diqiies, se pose évidemment pour une équalion 



d^ Il à- u 



dx"' dy 



+ f{oc, y)u — o, 



f{x, y) élant une fonction continue doublement périodique, et de signe 

 d'ailleurs quelconque : c'est la recherche, quand elles existent, des solu- 

 tions doublement périodiques partout continues. De telles solutions 

 n'existent pas en général. Il n'est pas douteux que la méthode de M. Freed- 

 holm, à laquelle j'ai fait plus haut allusion, s'adaptera très bien à celte 

 question. v 



)) 5. Un problème analogue à celui des paragraphes 2 et 3 se pose pour 

 d'autres équations que des équations linéaires. Soit l'équation 



oî^i k{oc, y) est une ïoncWon positive, toujours continue, et de périodes a 

 et h. Une solution doublement périodique (aux périodes a et 6) de cette 

 équation est complètement définie par ses points singuliers logarithmiques 

 O,, Oo, .. ., 0„ et les coefficients correspondants dans un parallélogramme 

 de périodes. Au point singulier O^, l'intégrale doit devenir infinie comme 



a^ logr,- [r^ étant la distance du point {x, y) au point 0,J, 



» On suppose, en outre, que 



et enfin on doit avoir pour les n coefficients relatifs aux n points sin- 

 guliers, 



a, + ao + . . . + a„ <; o. ■ 



» Sous ces conditions, l'intégrale est complètement déterminée. Ceci 

 résulte des méthodes suivies dans mes études relatives à l'équation Am = e" 

 sur une surface fermée ( ' ). La surface fermée correspondant au problème 

 précédent se réduit manifestement à un tore. 



)) Ces exemjdes particuliers suffisent à montrer la variété des questions 

 qui peuvent se poser dans l'étude des équations aux dérivées partielles à 

 coefficients doublement périodiques. >» 



(') Journal de Mnlhématiques, iSgS. Voir aussi mon Mémoire sur ce sujet 

 {Bulletin des Sciences mathématiques, 1900, p. 196), qui complète sur quelques 

 points essentiels le travail précédent. 



