SÉANCE DU 1^'" FÉVRIER iqo4. 26: 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les fonctions entières. Note de M. A. Pei.j.et, 



présentée par M. H. Poincaré. 



« Soient «1,^0, ...,«„, ... des points isolés dans le plan des quantités 

 imaginaires, en nombre infini, le nombre n des points situés dans le cercle 

 de rayon r, ayant pour centre l'origine, étant d'ordre p par rapport à r; 



j^^ tend vers o et ^37 vers l'infini; pour r tendant vers l'infini, s quantité 



positive aussi petite que Ton veut. Posons 



Sa = a] + a\^. ..+ a^ (k nombre entier) ; 



k étant négatif. S/, est une série absolument convergente, si — A j> 0; dési- 

 gnons par q le plus petit nombre entier positif tel que S;^ soit convergente 

 pour — X>^ et par Sf, la différence entre S_a pour r infini et S ;;. pourX:>y. 

 On peut prendre pour facteur primaire de la fonction /(.r) admettant pour 

 racines les quantités a 





» Le produit de ces facteurs primaires n'est pas absolument convergent; 

 il faudra prendre toujours l'ensemble des facteurs correspondant aux 

 racines situées dans le cercle r. Soient r, le rayon du plus petit cercle 

 contenant les n premières racines, r., celui du plus grand cercle laissant 

 toutes les autres à l'extérieur, la fonction canonique pour/o^- 1^| ^r, est 



égal à 



en posant 



f{œ)={-iY—^ e ^'^ 



H - 



i\ Si S, S,, 



^ I *' • • • /- l/- 



G{x) = S_, .r 4- S_. - +. . .+ S_,- - ^'^ .x^-' - ... - '-^.x' 



)) La somme des modules des termes de H ( - J -h G(.r) est dans un 



rapport fini avec/? lorsque p n'est pas entier; il en est de même lorsque p est 

 entier, en excluant le terme en .t?; celui-ci peut être de l'ordre nl^,^', 



i infiniment petit positif avec -• 



