SÉANCE DU 1*' FÉVRIER igo/j. 263 



rationnels ; on pourra toujours supposer «,, = ± ^' (/j,^, ^,, entiers, premiers 



entre eux ou non), ^„+,- étant divisible par q„ (« > o). Supposons de plus 

 que les conditions suivantes [conditions (A)] soient remplies : ou bien 



les a,^ sont positifs, ou bien -^'- croît constamment et indéfiniment avec n 

 («,,, rt,^^ p :^ o, a„+, =. . .= an^^_^ =-. o, a ^ o). Si, à partir d'une certaine 

 valeur de n, p,^ est d'ordre de grandeur inférieur à une certaine fonction 



croissante $„ de n, qui dépend du mode de décroissance des a„, /( -) est 



irmdoniiel quel que soit l'entier q>i; en particulier f(i) est irrationnel. 

 L'ordre de grandeur de <ï>« croît avec l'ordre de grandeur des inverses des 

 coefficients a,^. 



» Dans les mêmes conditions, quand ces fonctions entières sont d'ordre 

 (o, I, ?)^/(j ) (P^ q premiers entre eux et positifs) est irrationnel tant que p 

 ne dépasse pas une certaine limite; quand ces fonctions entières sont d'in- 

 dice >2,f(^)est irrationnel; enfin, quand l'indice est >3, f(^\ est trans- 



\y -^ \qj 



cendant. 



» Par exemple, la fonction entière étant absolument quelconque [condi- 

 tions (A) réalisées ou non], d'ordre nul et d'indice finiX>3, avec 



V,nteH{m)-^"' (Tfixe<^), 



V^) "^ ^^^"^ ^^'"^ algébrique, et, si les conditions (A) sont réalisées, il est 

 transcendant. 



)) Tout étant posé comme au premier alinéa de I ; 



» IL Si ~~ croît constamment et indéfiniment avec n, quel que soit 

 l'ordre de f{.jc) supposé toutefois non transfini, /(f) est transcendant 



dès que — ^ croît indéfiniment avec n, et p,;i^{\Q,^,^ny . 



» Il y a des extensions au cas où/(£c) est d'ordre transfini. 

 » Considérons toutes les fonctions entières de la forme 



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^^^'^c Rentier, /^,, entier positif, q„ entier = ej,{riy^~^"^\ /(•>3, Patehijîf" 



