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(lims,, et lim£ = o pour n = cc), qui correspondent à une même valeur 

 des <7,j ; soient ¥(00), F,(.r), ... de pareilles fonctions; «,, «o, ..., «o; 

 a\y a,, ..., al; ... des suites quelconques de nombres rationnels «< o, 

 distincts dans chaque suite, et les fonctions quasi-entières : 



+ ...+ F 



I ,(.)= F(.) + F,(^.)+F,(-^) 



p(<)(^) = F'')(^) + F-(-;,)+F-(^)+...+ Fo!: 



î 



J o 



I 



«Û' 



» III. Par addition ou midtiplication, les nombres o(a"), 9'''(^'), ... 

 (jo prenant toute valeur rationnelle positive ^ o), qui sont transcendants, 

 ne peuvent donner que des nombres transcendants. Tout polynôme à coef- 

 ficients rationnels positifs formé avec ces nombres est un nombre trans- 

 cendant. 



» IV. Si la fonction quasi-méromorplie Q = li]( \ ^^ se réduit pas à 



une constante ou à une fraction rationnelle, parmi les valeurs en nombre 

 infini que Q prend pour ûo rationnel quelconque, il n'y en a, en général, 

 qu'un nombre fini qui puissent n'être pas irrationnelles pour X- = 2, trans- 

 cendantes pour Â-^ 3 ; ces valeurs exceptionnelles sont alors rationnelles. 



)) V. Toute fonction rationnelle, à coefficients rationnels, des fonctions 

 F(j?) [formule (1)] est, pour x rationnel quelconque, un nombre rationnel 

 ou transcendant, qui ne peut être algébrique. 



» Soient deux fonctions F(j^), F, (.x) de la forme ( i ) et d'indices k et yt, , 

 avec k^k^^3. 



» VI. F[F,(ajJ est transcendant pour jc- rationnel ^ o. 



» Il y a des extensions à des fonctions de rayon de convergence fini et 

 présentant des lacunes; soit 



1 



n {- + t,,^ , / 1 \ 



Tô,^ = ef^(x) ^P '^ donné, k^2 './( - j est transcendant (q entier); une /onc- 

 tion îxuionnelie à coefficients rationnels des divers nombres fi-] est un nombre 



rationnel ou transcendant. 



» Mentionnons encore ce résultat [cas où F (a?) est d'indice i] : 



» VII. Soient 0, 0,, 0., 0.j(2) les quatre fonctions de Jacobi (notations 



