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» L'étude directe des équations (P) paraît difficile; même dans les cas 

 les plus simples, oi^i on les intègre à l'aide des fonctions connues, il paraît 

 malaisé de démontrer directement la convergence dans tout le plan du 

 développement de Taylor de l'intégrale. Mais il semble que cette étude 

 promette d'être assez intéressante et assez féconde pour tenter plusieurs 

 chercheurs: c'est pourquoi je me décide à publier quelques remarques 

 élémentaires que j'ai faites sur les équations (P); bien qu'incomplètes, 

 elles pourront peut-être mettre sur la voie de propriétés plus importantes 

 et la question me paraît mériter que tous ceux qui s'y intéressent com- 

 binent leurs efforts pour l'élucider. 



» Je poserai 



/ \ du d^u d^ u 



Ll — f/ rt Ju I kJ Li i OL- . OL o 1 3 W' o OC j OC ., l~ '^ o Ou 



> » 



)) Les remarques que je veux résumer ici sont relatives aux relations 

 simples qu'il y a entre les équations (P) et les invariants des formes 



binaires u^., u]., J'écrirai ces invariants sous la forme symbolique de 



Clebsch, en introduisant les variables symboliques ç^, w, s, identiques à u. 

 Quant aux équations différentielles (P), je les écrirai sous la forme sui- 

 vante '. le premier membre contiendra les termes dont le poids total par rapport 

 aux Ui est le plus élevé. L'importance particulière de ces termes est mani- 

 feste et résulte d'ailleurs des travaux de M. Painlevé. 



» Je signale d'abord quelques équations (P) dont l'intégrale générale 

 s'obtient aisément et qui peuvent s'écrire 



(mç')- = m'JP(^), P(^) polynôme quelconque; 



(^uvY =^ kul, A, constante; 



(^uvy(^vwY{wuf=o. 



Les premiers membres de ces équations sont les invariants des formes 

 quadratique et biquadratique, de degrés 2, 2 et 3 et de poids 2, 4 et 6. 

 » Ija fonction j, découverte par M. Painlevé et définie par l'équation 



est la dérivée logarithmique seconde d'une fonction u vérifiant l'équation 



{uvy=uiz. 



