SÉANCE DU 8 FÉVRIER IQO/j. ^Sg 



» De même, la fonction méromorphe y de M. Painlevé, définie par 



l'éqiiation 



y" =z iy^ H- xy -\- oc, 



peut être mise sous la forme du quotient de deux fonctions entières ; la 

 fonction dénominateur vérifie une équation différentielle du troisième 

 ordre, dont le premier membre se réduit à l'invariant (w^)^ (^ws)~ (^us^(^vw) 

 de la forme cubique u\. 



» Il est inutile de multiplier les exemples pour se convaincre qu'il y 

 a là un ensemble de faits analytiques dont la raison serait intéressante à 

 connaître ('). Hermite disait volontiers que « l'observation attentive des 

 » faits analytiques est la source la plus féconde des découvertes mathéma- 

 » tiques » ; le souvenir de ces paroles m'a encouragé à publier cette Note, 

 bien qu'elle ne contienne que des faits, sans théorie qui les explique, « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines fondions thêta et sur quelques- 

 unes des surfaces hyper elliptiques auxquelles elles conduisent. Note de 

 M. Traynard, présentée par M. G. Humbert. 



« Lorsqu'on cherche à mettre une fonction périodique de deux variables 

 à quatre périodes sous la forme du quotient de deux fonctions thêta, on 

 est conduit {f^ à considérer les fonctions n(U, V) qui satisfont aux rela- 

 tions suivantes ; 



n(u + oix, V) = n(u, V -t- 2?x) = n(u, v), 

 n(u + A,v + B) =d"'^-^^n(u, V), 



n(lJ -h A', V + B') = e'*"'^+^'II(U, V). 

 » La substitution 



D et E étant des constantes convenables, les ramène à des fonctions admet- 

 tant les périodes 



[liiz A A' 



(T\ ] T' ^' m' m' 



( o, liiz, B, B'. 



(^) Il y aurait lieu de s'occuper aussi des covariants des formes binaires, des inva- 

 riants et des covariants simultanés, etc. 



(^) Voir Painlevé, Comptes rendus, i4 avril 1902, p. 8i3. Voir aussi Appell, 

 Journal de Mathématiques, 4" série, t. VII, p. 199. 



