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)) Comme d'ailleurs -jrj ^ B, ces nouvelles fonctions sont donc certaines 

 des fonctions thêta aux périodes 



2«TC, o, ^, B, 



(T) ^1 



( o, 2i-, B, B'; 



mais ce ne sont pas les pins générales. On voit que leur ordre est Mn. 



» J'ai étudié plus particidièrement les fonctions pour lesquelles M = 2, 

 en introduisant des caractéristiques comme pour les fonctions thêta ordi- 

 naires; j'ai déterminé leur nombre, leur parité et les demi-j)ériodes qui les 

 annulent. Il est d'ailleurs facile de trouver les résultats analogues pour les 

 diverses valeurs de l'entier positif M. 



» En prenant pour coordonnées homogènes d'un point quatre fonctions 

 paires d'ordre r, de caractéristique nulle par rapport au Tableau (T2) de 



périodes, on obtient une surface de degré — au plus, au lieu de r- comme 



pour les fonctions ordinaires. En appelant Q,^q{u,v), 0o,(w,('), Qf^,(u,ç), 

 0,,(m, (^) les quatre fonctions ordinaires du second ordre (*), il y en a 

 deux, 000, ©01 » qiii admettent la période i-, o; il faut donc prendre des 

 fonctions du quatrième ordre pour obtenir une surface. 



)) Il y a six fonctions paires du quatrième ordre qui admettent le Tableau 

 de périodes (To); on peut les représenter par 



<^oo' ©0,' ©00000 0'o' ©M' 0<o©n- 



)) La surface la plus générale, obtenue en prenant pour coordonnées 

 homogènes d'un de ses points quatre expressions linéaires par rapport 

 aux fonctions précédentes, est du huitième degré; ce degré s'abaisse 

 d'une unité si les quatre coordonnées sont nulles pour u = w^, r = <^o, et 

 de deux unités, si u^, ^0 est une demi-période ordinaire (-). 



)) On obtient ainsi des surfaces : 



» Du huitième degré à 16 points doubles; 



» Du septième degré à 16 et i5 points doubles; 



» Du sixième degré à 16, i5 et i4 points doubles; 



» Du cinquième degré à i5 et i4 points doubles; 



» Du quatrième degré à i4 points doubles. 



» Pour obtenir les équations de ces surfaces, j'ai employé la relation 



(^) Voir lluMBERT, Journal de Mathéinaliques, 4® série, t. IX. 



(2) J'entendsparlàlesdemi-périodes(ii'), (i2'),(i3'), (i4'),(3i'). (^a'), C^^'), (34')- 



