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les exposants de x étant les nombres premiers. Cette série ne rentre dans 

 aucun des types connus de séries non continuahles; j'ai pu démontrer 

 cependant qu elle a comme points singuliers sur le cercle, toutes les racines de 

 l'unité d'ordre p, quand p est premier. En réalité, je fais cette démonstra- 

 tion pour la série V"~' ^'^ 4"^ permet d'utiliser les formules de M. Mertens 



{Journal de Crelle, t. 78) relatives à la distribution des nombres premiers 

 dans la progression arithmétique. 



» Il en résulte de là que le procédé de Riemann pour obtenir le prolon- 

 gement de la fonction t{s) ne s'applique pas à la série ^ ~ [étendue aux 

 nombres premiers ^ ( ' )] . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros d'une classe de transcendantes 

 multiformes. Note de M. Georges Remoundos, présentée par M. Emile 

 Picard. 



« 1. Dans un travail, qui paraîtra prochainement dans le Bulletin de la 

 Société mathématique, nous avons envisagé les fonctions u{z), d'un nombre 

 infini de branches, définies par une équation telle que 



(i) (7o(") + '^<(")A,(::) + c^{u)k^{z) +...-4- s(m)Av(-) =Y{z,u) = o, 



où les Gj(m) et A,(z) désignent des fonctions entières quelconques (-) et 

 nous avons démontré le théorème suivant, en nous appuyant sur un théo- 

 rème fondamental de M. Borel ^Mémoire sur les zéros des fonctions entières 

 {Actamathematica, t. XX, p. 387)], à savoir : 



» Si M^, W2, • . ., u^, «v-t-1 désignent v H- i valeurs exceptionnelles de a, ne 

 faisant pas partie de l'ensemble (E) (^), on aura 



ç(m,, U.,, . . . , //v, /^v-+-i) — 



<7v(w,) Gy^U.f) 



(7v(Wv+,) 



= O. 



(•) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Landau, Journal de Crelle, t. 125, p. 102. 



(2) A la vérité, j'avais dû supposer que les k{z) sont de genre fini. Mais je me suis 

 aperçu récemment qu'une importante proposition de M. Borel m'affranchit de toute 

 restriction. 



(') L'ensemble E comprend toutes les valeurs de u, pour lesquelles F(^, u) est une 

 constante. 



