SÉANCE DU 8 FÉVRIER I904. 345 



» Cette propriété montre que l'ensemble (c) des valeurs exception- 

 nelles, quand il n'est pas fini, est dénombrable et nous donne, de plus, des 

 renseignements sur leur fréquence. C'est ainsi que l'exposant de conver- 

 gence de la suite des (t), rangées par module croissant, ne saurait jamais 

 dépasser le plus grand des ordres apparents des fonctions a(u). 



» 2. Envisageons maintenant la fonction uÇz) définie par une équation 

 de la forme 



(2) ^{z, u) = Ao(-) H- k^{z)u -f- A2(^)M^-4-...-hA„(5)w'* + ..,= o, 



et supposons que l'ordre de grandeur M„(r) de la fonction entière A„(s) 

 décroît notablement, lorsque n croît indéfiniment, de sorte que, si M(r) 

 désigne le plus grand des ordres de grandeur des Aj(s), l'on puisse trouver 

 une valeur v assez grande de n, telle qu'on ait 



(3) [logM„(r)P<logM(r) (/z>v), 



à partir d'une valeur de r ou, du moins, pour une infinité de valeurs 

 d'étendue totale assez grande (voir le Mémoire plus haut cité de M. Borel). 

 La même méthode, grâce au théorème précité, nous permet de constater 

 aisément que le nombre des valeurs exceptionnelles est hÏQw fini et il ne 

 dépasse pas 3v — i, l'infini compris. 



» Ce nombre 3 v — i est formé : 



)) 1° Des valeurs de u pour lesquelles ^(z, u) a un ordre de grandeur 

 inférieur à M(/'), et dont le nombre est au plus égal à v, l'infini compris; 



» 2° Des u^, Uo, W3, ..., Wv, valeurs fixes, dont nous partons; 



» 3*' Des V — I valeurs possibles de u^^^, parce que notre méthode 

 montre que, lorsqu'on se donne u,, u.^, ..., u^, la valeur w^+i tloit satisfaire 

 à une équation algébrique de degré v — i. 



» Voici deux exemples 011 l'on se rend immédiatement compte de l'in- 

 térêt théorique et pratique de nos considérations : 



I. 6?^(i -h u) -h -e^'u- -h -^e^'u^ + . . . H :e^"u"-{- . . . = o; 



ici on a V = 2, et le nombre des valeurs exceptionnelles est au plus 

 égal à 5. 



» II. Soit l'équation 



qt(a)Ai{z) -h q2{u) A.^(z) -h. . .-h q^Çu) A^(z) -+- a(u)A(z) = o, 

 où les qi(u) désignent des polynômes de degré au plus égal à m, tandis 



