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unique Ye~"'<^\J ^, à la seule condition que l'état initial n'annule pas la con- 



stante y. 



» V. Au reste, le nwellement final des valeurs de v se reconnaît analyti- 

 quement, en multipliant la première (8) soit par l'élément de volume dns, 

 soit par çdts, et en intégrant, à la manière ordinaire, dans toute l'étendue cj 

 du corps, avec mise en compte de la seconde relation (8). Grâce, dans le 

 second cas, à d'évidentes intégrations par parties, l'on obtient, si ^j^ désigne 

 ce que devient le potentiel 9 des flux quand ç y remplace //, 



(,o) ^JjVych = o, ^^£pU;Çrfo=-2jrU;4 



di 



U; acT 



» Or la première de ces formules montre que la valeur moyenne (conve- 

 nablement définie) de v est constante. Quant à la seconde, le dernier 

 terme y étant essentiellement négatif tant que ^ ne s'annule pas, c'est- 

 à-dire tant que v est variable d'un point à l'autre, l'intégrale définie qui 

 figure au premier membrej décroît sans cesse; et, comme son minimum 

 nul l'empêche de décroître infiniment, sa dérivée en / tend vers zéro, 

 imposant ainsi à J; la valeur asymptotique zéro, ou exigeant l'égalisation 

 finale des valeurs de v. 



» VI. Supposons enfin que l'intégrale n soit, elle-même, une solution 



simple, de la forme e-'"^l]. Le quotient (^deviendra e-f'""'"''^ ^; et, si l'on 



appelle W ce que devient d/ par la substitution de îj- à t', la seconde équa- 

 tion (10) prendra, presque immédiatement, la forme 



(11) {7n-7n,) fpir-dvj = 2 fV;Wdr:j. 



» Pour toute fonction, U, distincte de U,, c'est-à-dire ne réduisant pas 

 leur quotient à ujie constante ou n'annulant pas T, il est clair que cette 

 formule donnera /?? ^ 77?,. Ainsi, au premier coefficient ;;z, d'exlinclion, il 

 correspond bien la fonction unique U< (* j. » 



(') La présente Noie complète une question que j'avais discutée, mais sans la 

 résoudre d'une manière générale, vers la fin de la seizième de mes Leçons sur la 

 Théorie analytique de la chaleur, mise en harmonie avec la Thermodynamique et 

 avec la Théorie mécanique de la lumière (t. I, j). 254); elle remplacerait avantageu- 

 sement leur page 255. On en trouvera une rédaction ])lus développée, étendue même 

 au cas de corps dont les propriétés calorifiques dépendraient du temps, dans le 

 numéro de février 1904 du Bulletin des Sciences mathématiques. 



