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» Le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est 

 alors donné, pour la surface générale de degré m, par la formule 



pp = (m — \){m} — '^7)1 + 3), 

 en appliquant la formule générale de la page 3^3 de mon Traité : 



(i) Po = N - fxp —{m - i)— (p - i). 



Parmi les surfaces pour lesquelles on a p ^=1, je citerai encore la surface 

 de Rummer, comme il résulte facilement d'un tbéorème de M. Humbert, 

 et aussi les surfaces hyperelliptiques générales, comme je l'ai montré 

 (Annales de l'École Normale, 1901). 



» 2. J'ai examiné (/oc. cit.) les surfaces dont l'équation est de la forme 



(S) z"' = x"'+V{y) {m>^), 



où P(j) est un polynôme arbitraire de degré m, et j'ai montré que l'on a 



pour une telle surface 



p =(m — i)2_f-i. 



On voit que, quoique la surface S n'ait aucune singularité, le nombre p est 

 bien différent pour elle de ce qu'il est pour la surface générale de degré m. 

 La formule précédente suppose d'ailleurs que P(jk) est arbitraire; pour 

 des polynômes P spéciaux, la valeur de p sera différente et la nature arith- 

 métique des coefficients peut jouer un grand rôle. J'ai déjà insisté, dans 

 des cas particuliers, sur la dépendance entre p et la nature arithmétique des 

 coefficients de l'équation de la surface (voir, par exemple, p. 323). En 

 appliquant la formule (i), on trouve de suite, pour la surface (S), 



Po = (m — i)(w — 2)-. 



» 3. L'importance du nombre 



N — 4/^ — (m — i) 



est considérable dans la théorie des intégrales doubles de seconde espèce. 

 Or, il y a quelques jours, M. Castelnuovo vient de me communiquer une 

 remarque très intéressante à ce sujet. Ce nombre coïncide, à une unité 

 près, avec l'invariant relatif I que M. Enriques et lui ont envisagé dans 

 leur beau Mémoire Sopr^e alcune questioni fondamentali nella teoria délie 

 superficie algebriche, publié en 1901 dans les Annali di Matematica. C'est 

 la considération des systèmes linéaires de courbes qui les a conduits à cette 



