SÉANCE DU 22 FÉVRIER 1904. 4^9 



combinaison. De plus, sur une surface ne possédant aucune courbe exception- 

 nelle, l'invariant I s'exprime à l'aide du genre numérique p^ et du genre 

 linéaire /?'*' {Curvengeschlecht de NôLher), par la formule 



I = I 2/>„ - /î^*^ + 9. 



La dépendance ainsi établie (au moins pour certaines surfaces) entre le 

 nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce et les genres 

 numérique et linéaire /^„ et p^^\ paraîtra sans doute bien remarquable. 

 Elle établit un lien entre deux ordres de considérations extrêmement diffé- 

 rents. 



» 4. Faisons encore une application de la formule (i) au cas d'une sur- 

 face unicursale. Soit une surface unicursale définie en coordonnées homo- 

 gènes par les équations 



X 



i=/i(x,^,y) (i = l,2,3,4), 



les /étant des polynômes homogènes de degré /i en «,, p et y. On suppose 

 que les courbes /,= o aient a points simples communs ne répondant d'ail- 

 leurs à aucune disposition particulière. Dans ces conditions, on a, pour la 

 surface ainsi définie, 



( /^ — I ) ( n — 2 ) 

 m, = n- — a, p = — > p = « -+- i . 



» Quant au nombre N, il est égal à 3(/^ — i)-, comme le montre un 

 calcul facile. 



» La formule (i) donne alors 



Il devait en être ainsi, puisque la surface, étant unicursale, a toutes ses 

 intégrales doubles de seconde espèce réductibles à la forme 



// 



_f_ dxdy, 



U et Y étant rationnelles erl x, y et z. 



» 5. Je termine en complétant un résultat que j'ai déjà indiqué sur les 

 périodes des intégrales doubles et sur une classe d'équations différentielles 

 linéaires {Comptes rendus, i3 janvier 1902). Soit une surface algébrique 



f{x,y, z, 7.) = o 



