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» Une con»ruence G avant pour paramètres directeurs (X,, ..., X,,) 

 a pour nombres caractéristiques p, q, si l'équation de Luplace à laquelle 

 satisfont les fonctions X admet m solutions (Y,, ..., Y,„) telles que 





2(^j ""'' a::=(l, 2, ..../J-l), 



2 (0y -^2 (^-)' = '' ^ = (l, 2, . . ., r/ - I). 



Le nombre /i + m est le rang de la congruence G. 



» Cela posé, la plupart des problèmes de la géométrie à deux indéter- 

 minées renirent dans le type suivant : 



» Déterminer un élément qui appartient de deux façons différentes à un 

 groupe O. 



» Je suppose que dans la première manière les nombres caractéristiques 

 d'un élément soient/? et q\ que dans la seconde ceux du même élément 

 soient/?' et q' . Les nombres a, r= p' — p et ^ = q' — q sont les mêmes pour 

 tous les éléments du groupe; ces nombres a et p sont les indices caracté- 

 ristiques dix groupe. On peut évidemment changer les signes des deux in- 

 dices, et par conséquent les supposer positifs, s'ils sont de même signe; 

 c'est ce que je ferai désormais. 



» Cela posé, on peut énoncer le résultat suivant : 



» Tous ces problêmes se ramènent à la recherche d'une équation E^. (ou à 

 une forme j>arliculière de ces équations), c'est-à-dire, d'une équation de 

 M. Moutard : 



du âv 



MO, 



admettant r solutions 6, , B^ , . . . , 6^ dont la somme des carrés est égale « U -+- V. 



» Il y a lieu de distinguer plusieurs types parmi ces équations. 



» Tout d'abord, si aucune des fonctions U et V ne se réduit à une 

 constante, l'équation est du type (o, o). 



» Si V est constant, et si de plus 



l'équation est du type (o, a). 



