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Ce dernier théorème est applicable à une suite de fonctions harmoniques, 

 continues dans D et sur C, lorsque le domaine admet la représentation 

 conforme sur un cercle; le théorème général s'applique dans tous les cas 

 à une suite de fonctions harmoniques et continues dans D et sur C. 



» Si la suite/,, remplissant les conditions énoncées ne converge plus 

 sur C, on peut en extraire une nouvelle suite convergeant uniformé- 

 ment dans D. On a un théorème analogue pour les fonctions harmo- 

 niques; en particulier, quand ces fonctions croissent avec n, l'énoncé peut 

 prendre la forme suivante : si une série de fonctions harmoniques, posi- 

 tives et continues dans D, converge en un point de ce domaine, elle con- 

 verse uniformément dans tout le domaine; c'est le théorème de Harnack. 



» Supposons maintenant que les valeurs de/ — « dont le module ne 

 reste pas supérieur à un nombre fixe n'aient jamais un argument compris 

 entre w et co + /^ (A est un nombre arbitrairement petit, mais fixe). Le 

 théorème est encore vrai. En particulier, si/ ne prend jamais de valeur 

 dont l'argument est compris entre to et o:> + h ou si, pour de telles valeurs, 

 fn est borné, la convergence sur C suffit à assurer la convergence uniforme 

 dans D. 



w II. Prenons une suite / convergente dans le domaine simplement 

 connexe D. Si l'on peut extraire de cette suite une nouvelle suite satisfai- 

 sant aux conditions qui précèdent, la limite est une fonction analytique. 

 Supposons qu'il n'en soit pas ainsi. Je dirai qu'un point de D est un 

 point de convergence uniforme si, dans un cercle décrit de ce point 

 comme centre, la suite converge uniformément; s'il n'existe pas un tel 

 cercle, le point sera appelé exceptionnel : V ensemble des points exception- 

 nels (V une série convergente de fonctions analytiques^ régulières dans D, est 

 parfait, non dense et d'un seul tenant avec la frontière C. On voit qu'une 

 série convergente de fonctions analytiques possède à l'intérieur de tout 

 domaine un nouveau domaine où elle converge uniformément : sous cette 

 forme la proposition a été aussi démontrée par M. Lebesgue. Les points 

 exceptionnels peuvent former, par exemple, un ensemble dénombrable de 

 lignes; dans ce cas, pour que la limite soit analytique, il faut et il suffit 

 qu'elle soit continue. 



)) Soit E^ l'ensemble des points limites de toutes les racines des équa- 

 tions 



/, ~ a =0, 



un point de convergence uniforme appartient à un E„ et à un seul, en ce 



