47^ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Théorème. — Im différence 



U»+i _ U« 



est de la forme ( -^irjr^^ )• 



» Nous supprimons la démonstration de ce théorème qui entraîne les 

 conséquences suivantes : 

 » Corollaire. — A la suite 



■ * • s • • ï • > • • • 



V V. V 



'0 '1 ' « 



correspond une fraction continue algébrique canonique dont les réduites sont 



Uo u, u„ 



- ^ ■ « • • • • • • • • • 



'0 '^ 1 ^ Il 



» La fraction continue converge et diverge évidemment en même temps 

 que la série 



Cela posé, je considère les polynômes j„ définis par la condition 



'" - " X A^„ ^ , U (yo arbitraire). 



in-i V„_, A(«-I) -f-B 



» En vertu des relations (i), ces polynômes vérifient la relation de re- 

 çu irence 



{Xn -h B)y«M +- (C« + D)(P.- + Q)y;-4- (E/; +- F)y;_, = o. 

 » Je considère aussi la fonction 



{s) Y (s, y.) = y,, + y, a + Ta x' + i'g a^ -h . . . + ^„ a" -^ . T. 



vérifiant l'équation différentielle 



[Aa. + C(P:; + Q)'/^+Ex^]|^ 



+ [(B - A) + r)(l>2 H- Q)-y- + (F -f- E)a- JY 

 = (B - A)yo+ IByV-h D(P^ + Q)yoJoc; 



un calcul facile montre que 



y«=^«î 



