SÉANCE DU 11 FÉVRIER I904. 



or, si les modules des racines a,, a^ de l'équation 



(2) A +C(P5 + Q)a4-Ea-rr^o 



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ne sont j3as identiques (soit 1 a., | <! j "t^:. | )» !e rayon de convergence de la 

 série {s) a pour expression le module de la racine de moindre module de 

 l'équation (2 ), en sorte que 



lim 



(\,_ 



II- 1 



iim 



jn 



a, 



Il s'ensuit que 



lim 



U, 



U„-i 



v„ v„_. 



u 



«+1 



«+1 



v„ 



E/t4-F| X |(/i — i)A -i-B 



X lim 



V, 



X 



v„ 



V 



n-\ 



V.n-\- Fil A(« — i) + B 



77 X lim 



X lim 



,1 n + \ 

 jn 

 jn 



Jn-X 



A(/i -i) + B 

 A/^4-B| 



A 



lim 



.1 ii+\ 



> 



a, a., 



>I. 



ce qui prowe que la série (S) converge: la suite des réduites -^i ^ -, ■•■■> 



TT, -• est donc elle-même convergente dans cette hypothèse. 



' Il 



)) On voit aussi aisément que la série (S) diverge si les racines de l'équa- 

 tion (2) sont identiques. 



» Corollaire. — Laguerre {OEuvres, passim) a montré que les fonc- 

 tions Z(z) vérifwjit V équation différentielle 



{az -t- b){cz -^d)^ = (pz 4- q)Z -H Il(^), 



OÙ a, b, c, d, p, q sont des constantes quelconques et 11(5) un polynôme quel- 

 conque en z, admettent des développements en fractions continues qui rentrent 

 dans la forme que nous venons d'étudier. 



» On peut donc appliquera ces développements les conclusions précé- 

 demment indiquées et un calcul facile montre alors que la condition de 

 convergence se réduit à celle-ci : le point z doit être en dehors de la cou- 

 pure rectiligne joignant les points d'afllxes > Les développements 



