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doit être associée une autre classe G' au multiplicateur p ' . Le nombre des 

 variables et leur répartition en'séries doivent être les mêmes dans ces deux 

 classes. 



M 2° A un multiplicateur p^i modp correspondrait une classe singu- 

 lière, réelle et qui est sa propre associée. Dans chacune des sous-classes 

 qui la composent le nombre /(m + i +/?) doit être pair (/ désignant le 

 nombre des séries, m -+- i \e nombre des variables dans chacune d'elles). 

 » Supposons ces conditions remplies. 



» Groupons dans une même famille toutes les classes qui sont soit con- 

 juguées, soit associées. Toute forme invariante sera une somme de formes 

 invariantes partielles, ne contenant chacune que les variables d'une famille. 

 Le problème est ainsi ramené au cas oii il n'y a qu'une famille. Ici trois cas 

 pourront se présenter. 



M Premier cas. — La famille comprend deux systèmes S, S' dont le pre- 

 mier contient v classes conjuguées Cq, . . ., Cv_, et le second leurs associées 

 respectives Co , . . ., C(,_i; ^i) sera la somme de v formes complexes [GoC^], . . ., 

 [G^_, C'^_,] dont chacune est bilinéaire par rapport aux variables de deux 

 classes associées. Ges formes partielles sont conjuguées les unes des autres; 

 il suffira donc de construire, puis de réduire l'une d'elles, telle que [G^Gq]. 

 » Soient ^,, .. ., ^^ les séries qui forment la classe Gq*, {x^, . . .,^*j„) les 

 variables de la série s^. Soient de même s\, . . . , s\ les séries qui forment 

 la classe associée G^; (jf, . • ., jE,^) les variables de la série /p. Soit enfm r 

 un entier quelconque qui ne surpasse ni m» ni m^. Posons 



4- (- iy>r+ ct.<_,+ cL,^^,+ . . . + x^,]ytk+ . . .. 



» L'expression générale de la fonction [GoGé] sera 



[GoCo] = ^ afs/a.^rf^ 



où les coefficients a sont des entiers complexes quelconques satisfaisant 

 à la condition a^^^ a modp. 



» Par des changements de variables qui n'altèrent pas la forme cano- 

 nique de S, on peut réduire toute expression de ce genre, si son discri- 

 minant n'est pas nul, à la forme type unique 



a. 



