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de degré 2v, mais liés par les relations 



lesquelles expriment que la forme $ qui vient d'être construite est réelle. 

 » [ci encore, par un changement de variables qui n'altère pas S, on peut 

 réduire l'expression précédente au type unique 



a 



» Troisième cas. — La famille est constituée par une seule classe singu- 

 lière. 



» Soient encore s,, s.,, ... les séries qui la composent, (x^, . .., xf„ ) les 

 variables de la série ^a- La fonction 4> sera une somme de formes partielles 

 invariantes, les unes [a^] bilinéaires par rapport aux variables de deux 

 séries s^^, s^, les autres [aa] quadratiques par rapport aux variables d'une 

 seule série. 



» Les formes bilinéaires [a[i] seront, comme dans le premier cas, des 

 fonctions linéaires (à coefficients réels) des formes invariantes élémen- 

 taires 



» Reste à construire les formes quadratiques [aa]. 



» Supposons d'abord /> impair, et soit r un entier tel que ir ne surpasse 

 pas m^. Posons 



— -y.a ^a o -y* i"* -L- -i- f t \'^ o ^y* o^* 



n Si p = 2., soit r un entier tel que 2r ne surpasse pas m^-h i. Posons 



— ^a ^« _i_ ^a „a j^ „a / ^«l .^ ^*\ _i 

 j^^ Ob^.JU^. -t- j:-,._ia.,. -1- ^r—ï\^r+l -T- x,.j -\- . . . 



H- ^;._i_;;- •^J/.^.x H- ft^,-+/,_i H ^ •3?,.+^_2 H- . . . + ^,. -h . . . . 



» La fonction [oca] sera une fonction linéaire de ces formes invariantes 

 élémentaires. 



» L'expression générale de ^ étant ainsi déterminée, il reste à la réduire. 

 On constate tout d'abord qu'on peut la ramener à une somme de formes 

 partielles <ï>,, ^.,, . .., ne contenant chacune que les variables d'une seule 

 sous-classe, et qu'on aura à réduire séparément. 



