SÉANCE DU 29 FÉVRIER 1904. 555 



été obtenu en partant d'une hypothèse simple sur la déformation des deux 

 corps due à leur pression mutuelle : on admet qu'en prenant pour position 

 initiale celle où les deux corps se touchent en un seul point P, avec pres- 

 sion nulle, le déplacement éprouvé (avant le pivotement) par chaque 

 point de l'un des corps pour venir en coïncidence avec un point de l'autre 

 corps est parallèle à la normale commune en P et que la pression finale 

 est partout proportionnelle à l'écart primitif des points amenés ainsi en 

 coïncidence. Résal, dans sa Mécanique générale, avait déjà admis cette 

 hypothèse, analogue à celles que l'on fait dans la théorie de la résistance 

 des matériaux, et nous la qualifierons, pour abréger, hypothèse de Résal. 



» En 1882, Hertz a appliqué la théorie mathématique de l'élasticité à 

 l'étude du contact de deux corps pressés normalement l'un contre l'autre. 

 Comme il fallait s'y attendre, les conclusions auxquelles il est parvenu ne 

 concordent qu'imparfaitement avec celles qu'on déduit de l'hypothèse de 

 Résal. Les déplacements, au lieu d'être normaux au plan tangent commun, 

 sont inclinés sur ce plan, et la répartition des pressions, à l'intérieur de 

 l'aire de contact, n'obéit pas à la loi prévue. Néanmoins, le théorème de 

 M. Léauté demeure exact, ainsi que je vais le montrer. 



« Les calculs de Hertz établissent que, si l'on désigne par P la pression 

 totale, et para, b les demi-axes de l'ellipse limite, la pression/? au point 

 dont les coordonnées, dans le plan tangent commun, sont x, j, a pour 

 valeur 



— 3P / _ ^ _ J" 



» L'hypothèse de Résal conduit, pour la même pression, à la valeur 



, 2P/, X' y 



■Kab\ a' IP' 



Ce sont là deux expressions bien différentes, mais qui ont pour caractère 

 commun de demeurer constantes le long de Tellipse 



"â "T" 7^ — ^ 1 



a? b' 



homothétique à l'ellipse limite. Or la démonstration géométrique de 

 M. Léauté s'appuie uniquement sur cette propriété. Elle se ramène à 

 ceci : Soient ds un élément linéaire de l'ellipse (X), r le rayon vecteur 

 correspondant, 6 l'angle de ds et de r, / le coefficient de frottement. Le 

 moment du frottement développé dans la zone comprise entre les deux 



