SÉANCE DU l4 MARS igo^]. 675 



Je les énonce seulement dans le cas de deux dimensions, la généralisation 

 en étant immédiate. 



» On peut d'abord étendre aux ensembles plans le procédé que l'on 

 peut employer pour construire tous les ensembles parfiiits rectiUgnes. On 

 a le théorème suivant : 



» Théorème. — En excluant du plan les points intérieurs à l'un au moins 

 des cercles d'une suite dcnomhrahle de cercles, on obtient un ensemble fermé 

 (^contenant son dérivé). 



» Inversement, tout ensemble fermé (et en particulier tout ensemble par- 

 fait) peut être obtenu de celte manière. 



» Ce théorème est à rapprocher de celui de MM. Poincaré et Volterra, 

 sur le nombre des branches d'une fonction analytique multiforme. 



» I^es enstmjjjes [)arfails se distinguent en ensembles discontinus, con- 

 tinus linéaires, continus superf ciels. Ces ensembles ayant même puissance 

 et, d'après ce qui précède, même procédé de construction, il est facile de 

 s'expliquer qu'on leur connaisse encore peu de propriétés distinctes. Dans 

 cet ordre d'idées, j'ai obtenu les théorèmes suivants : 



» Théorème. — Un ensemble dénombrable d^ ensembles partout discon- 

 tinus est un ensemble dont aucune portion ne saurait être continue. 



» De même, un ensemble dénombrable de continus linéaires est un 

 ensemble dont aucune partie ne saurait être superficielle. 



» On sait qu'un point d'un ensemble discontinu peut être entouré d'une 

 ligne ne renfermant aucun point de l'ensemble et dont tous les points 

 sont aussi voisins qu'on veut du point donné. On peut étendre ce théorème 

 de la manière suivante : 



» Soit a un point d'un ensemble fermé quelconque E et supposons 

 que a appartienne à un continu C faisant partie de E; on peut trouver une 

 ligne entourant C, ne contenant aucun point de E, dont tous les points 

 soient à une distance de C inférieure à un nombre donné quelconque; 

 cette hgne peut être supposée analytique régulière et pourvue en tout 

 point d'une tangente et même d'une courbure continues; on peut même 

 ajouter qu'il existe une zone entourante, sans points de E, et aussi voisine 

 de C qu'on voudra. 



» Etant donné un point a d'un ensemble discontinu, il peut ou non 

 exister un angle ayant ce point pour sommet, dans lequel il n'y ait pas de 

 point de l'ensemble tendant vers a. Dans une aire aussi petite qu'on veut, 

 contenant des points de l'ensemble, il y en a toujours une infinité pour les- 

 quels cet angle peut être choisi aussi voisin de t. qu'on le désire. Mais pour 



