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le nombre des facteurs de l'espèce L qui figurent dans son expression en 

 produit de substitutions fondamentales sera pair ou impair. 



)) Nous avons établi autrefois par des considérations assez détournées 

 que les substitutions paires contenues dans l'un G des groupes liypoabé- 

 liens forment un sous-groupe invariant. M. Dickson est arrivé au même 

 résultat par une voie beaucoup plus directe et a assigné un caractère très 

 simple permettant de discerner a /?nori si une substitution donnée est paire 

 ou impaire (Linear Groups, n° 205). 



» Il faut toutefois, pour appliquer ce critérium, commencer par rame- 

 ner ^ à son type canonique; cette opération peut présenter quelque diffi- 

 culté, surtout si, comme il arrive souvent, elle est donnée sous une forme 

 où figurent (en apparence) des imaginaires de Galois. Mais on peut s'en 

 dispenser, en donnant au critérium une forme nouvelle, complètement 

 indépendante de l'expression de <ï>. 



)) En effet, une substitution S étant donnée, nous avons montré 

 (Comptes rendus, t. CXXXVIII, p. 587) qu'il suffisait de la réduire à la 

 forme canonique pour reconnaître s'il existe ou non des formes quadra- 

 tiques $mod2 qu'elle laisse invariantes. Dans le cas de l'affirmative, on 

 aura le théorème suivant : 



« Théorème. — La substitution S sera paire ou impaire, suivant que, dans 

 son expression canonique, le nombre des séries formées par les variables sera 

 pair ou impair. 



» Tout se réduira donc à la discussion du déterminant caractéristique 

 de S et du svstème de ses mineurs. 



)) Nous allons indiquer en quelques mots la marche de la démonstra- 

 tion : 



» 1° Si <î> est une somme de fonctions partielles <!>,, 4>2, .. , contenant 

 des variables différentes, soient G, le groupe des substitutions qui, opérées 

 sur les variables de <î>,, la laissent invariante; G celui des substitutions qui 

 laissent $ invariante. Toute substitution de G^ appartiendra évidemment 

 à G et aura dans ce nouveau groupe la même parité que dans le groupe G, ; 



» 2*^ Toute substitution hypoabélienne d'ordre impair est paire; 



» 3° Le théorème sera vrai pour une substitution hypoabélienne quel- 

 conque, s'il l'est pour les substitutions abéliennes dont l'ordre est une 

 puissance de 2. 



» On peut d'ailleurs le supposer établi pour les substitutions 011 le 

 nombre des variables est moindre, ou le nombre des séries plus grand que 

 dans la substitution que l'on considère. 



