SÉANCE DU 2 1 MARS lC)of[. 727 



» Les lemmes précédents permettent de ramener le cas général aux cas 

 particuliers suivants : 



)) 1° La substitution S est de la forme 



S = 



^0 ' ^ i > • • • » '^m ^0 ' "^1 "r" "^0 > • • • » "^wi ~r- ^;n—i 

 .y ' iXt ' * • • ' y m .Yo ' J^ I "*" ^0 ' • • • > y m ' .X/w— ( 



et la forme $ est bilinéaire par rapport aux x et aux y. Dans ce cas, S sera 

 un produit de substitutions M,yt; elle sera donc paire et le théorème sera 

 démontré. 



» 2° S ayant encore la forme précédente, et m étant un nombre pair 2.n, 

 <ï> peut être ramenée (par une transformation qui n'altère pas S) à la 

 forme 



OLi W ne contient plus les variables x^y,y.J,^. 



» La substitution T qui remplace x^ par ^0 + J'2«~t~ ^'^n-i + • •• + ^/j 

 laisse (î> invariable et elle est impaire. Et pour démontrer que S est paire, 

 comme le veut le théorème, il suffira d'établir que ST est impaire. 



» Or, soit n = 2^q (q impair). Le déterminant caractéristique de ST est, 

 comme on le voit aisément, égal à 



[pi H- (i - p)'^]'Hi - p)=^"-' (mod 2). 



» Il a '2q -\- \ racines distinctes; d'ailleurs, ses mineurs n'ont pas de 

 diviseur commun; donc, dans la forme canonique de ST, les variables 

 forment iq -i- i sériés; donc ST est impaire, le théorème étant supposé vrai 

 si le nombre des séries surpasse 2. 



» 3*^ La substitution S a la forme 



et 4> peut être ramenée à la forme 



^ rie contenant plus les variables 07^, ^2«-i- 

 » La substitution T, qui remplace x^ par 



sera hyperabélienne impaire et, pour établir que S est impaire comme le 

 veut^^le théorème, nous aurons à montrer que ST est paire. 



