SÉANCE DU 21 MARS 1904. '745 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes décomposables en facteurs 

 linéaires. Noie de M. F. Hocevar, présentée par M. Jordan. 



« Je me propose d'expliquer dans la présente Note une résolution gé- 

 nérale des deux problèmes suivants : 



» a. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quel- 

 conque soit développable en facteurs linéaires. 



» b. Calculer ces facteurs si la condition est réalisée. 



» 1. On peut évidemment supposer que la forme donnée V{x^, ...,x,A 

 de degré m ait été débarrassée de ses facteurs multiples, et contienne un 

 terme en x"\ 



» 2. Supposons que la forme / soit divisible par un facteur linéaire. 

 Alors on démontre facilement que chaque mineur du troisième degré de 

 son hessien est divisible par le même facteur. On a donc le théorème : 



» Si la forme f est décomposable en facteurs linéaires, chaque mineur au 

 troisième degré du hessien H(/) est divisible par f. 



» Cette condition est suffisante. 



» 3. Soient, en effet, a.^, . . ., a« des nombres constants arbitraires, assu- 

 jettis à la seule condition que les racines «*/\ . . ., d"'^ de l'équation 



f{x^, «2, ...,a„) = o 



soient inégales. On aura pour les /> racines de l'équation /= o des déve- 

 loppements de la forme 



X 



,=.--.(..-..)(gi)^-^...-.(..-..)(êX 



(0 ' +i(a;^,_a,) 



d^'x 



2\ - :./ \dx\ 



(\=L i, 2, . . ., m). 



» J^es expressions (-v^') ' (t"^),' *•' représentent les valeurs de ces 

 dérivées correspondantes aux valeurs spéciales 



(2) x^ = d^\ x., = a.,, ..., œ„=:ar 



Ul • "*K» 



. . • * 



)) Or il est évident que la forme /est décomposable en facteurs linéaires 

 si, dans les séries (i), tous les termes d'un ordre supérieur au premier 



