882 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Conslriiisons de la manière suivante une étoile % appartenant aux 

 constantes X,,, A',, k.,, ... qui défuiissent la branche fonctionnelle 



F (] (x) = /{^ -i- kfX -h h., œ- -h. . .. 



)) On sort d'un entourage C, du point x =o, tel que la branche fonc- 

 tionnelle FC^ (^) obtenue par le prolongement analytique de FC(a;) dans 

 l'intérieur de C, n'ait qu'un nombre dénombrable de singularités et reste 

 d'ailleurs déterminée et uniforme. On fixe un certain vecteur /issu de l'ori- 

 gine. On regarde dans la suite un entourage C, d'un point de /appartenant 

 à G, où la continuation de la branche FC,(.2;), soit FC.Çx), se comporte 

 quant à Co de la même manière que FC,(^) quant à G,. Ge domaine Ga 

 pourra sortir de G,. Dans ce cas, on fixe G2 d'une telle manière que cette 

 circonstance arrive, on prend un point à l'intérieur de Go situé sur / et 

 extérieur à G,, et l'on appelle G3 un entourage de ce point muni des 

 mêmes propriétés que G^ et Cj auparavant, et ainsi de suite. 



» On peut avancer de cette manière le long du vecteur / sans être jamais 

 arrêté à distance finie de l'origine. Dans ce cas tout le vecteur /est compté 

 appartenir à l'étoile Jl. 



)) Mais il se peut aussi bien qu'on trouvera le vecteur / limité à une dis- 

 tance /, qu'on ne pourra pas passer. Gette circonstance aura lieu si le point 

 extrême de /, , sans que la fonction F(^) cesse d'être uniforme, fait partie 

 d'un ensemble parfait de singularités. Elle aura encore lieu si la fonction 

 cesse d'être uniforme dans l'entourage de ce point extrême. La partie /, 

 du vecteur sera comptée comme appartenant à Fétoile %. On obtient 

 l'étoile complète en procédant de la même manière pour tous les vecteurs /. 

 On voit que les points singuliers de F^(^) à l'intérieur de ^ forment un 

 ensemble dénombrable. 



» Entre autres théorèmes généraux, j'ai démontré dans mon Mémoire 

 de l'année 1884 le théorème suivant que j'exprimerai ici sous une forme 

 moderne : 



» La fonction Y %{x) pourra toujours être exprimée par une série : 



Y%{x)=^Y,{x) + Y%{x), 



v = l 



OU F^(ir) représente une branche fonctionnelle qui est régulière et uniforme 

 partout à l'intéiieur de %,, tandis que la série ^Fv(x) est uniformément 



