SÉANCE DU M AVRIL 1904. 883 



com'ej'gente pour chaque domaine à l'intérieur de % qui n embrasse aucun 

 point singulier {c est-à-dire à l' intérieur on sur la frontière de laquelle ne se 

 trouve aucun point singulier) et que les fonctions Fv(£p) sont munies des 

 caractères suivants : 



» i'' La fonction Fv(r) est une fonction uniforme de œ qui est régulière 

 sauf aux deux points a.^ et b,,, dont a^ est un point singulier à l'intérieur 

 de % et b^ est un pôle choisi d'une manière spéciale et situé à l'intérieur 

 ou sur la frontière de %. 



)) 2° En désignant par D un continuum quelconque appartenant à ^ et 

 par «vi, Ic's points singuliers a^ à l'intérieur de ce continuum, la différence 



'¥ %{x) — ^ FvX-^) sera régulière partout à l'intériein' de D. 



» Pour former les fonctions Fv(.a7), il faut la connaissance de la manière 

 dont se comporte la fonction Y %(^x^ aux environs de chaque point sin- 

 gulier à l'intérieur de %.. En n'ayant pas cette connaissance et en ne 

 sachant de la branche fonctionnelle F^(.r) autre chose qu'elle est définie 

 par la formule 



FC {x) = k^ -\- k^x -h k.^x- -{- . . . , 



c'est-à-dire par les constantes k^, k^^k.^^ , . ., on pourra se demander si elle 

 peut être représentée à l'intérieur du domaine % par une seule et même 

 expression, oii il n'entre de la fonction que ces constantes. C'est en réalité 

 le cas et cette formule est même d'une très grande simplicité formelle. Elle 

 est une conséquence presque immédiate de mon théorème de 1884 

 ensemble avec le théorème sur £(£»?). Faisons 



O (M X\ on 



v = 9 



et la formule sera 



Y%{x) = lim y (^0 + k,x-h...-h k.,x')E.,^^(to), 



M = X, 



011 l'égalité a lieu pour chaque point régulier de F^(^). Le second nombre 

 est uniformément convergent pour chaque domaine à l'intérieur de l'étoile 



principale A des constantes ^g, ^,, k., Elle est encoi'e uniformément 



convergente pour chaque partie d'un vecteur issu de l'origine et apparte- 

 nant au domaine ^ qui n'embrasse aucun point singulier. On voit que je 

 n'ai fait absolument aucune supposition concernant la nature de F(a7). On 



