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u =: const., V — const. soit un système conjugue persistant sur la surface 1 

 s'expriment par les deux équations 



( » O ) ( I o ^ ï î ' 



(0 i I i '"'^' ! M =^^")== u' 



les crochets de ChristofFel étant formés avec les coefficients de l'élément 

 linéaire da' de la représentation sphérique relative à la surface 1. Or la 

 représentation sphérique de 1 est connue dès qu'on connaît celle de S, et 

 les coefficients de da' s'expriment aisément au moyen des coefficients e, g 

 et de leurs dérivées, l'élément jinéaire da de la représentation sphérique 

 (ie la surface S étant défini par l'équation 



(2) da- = e dir -+- g d^^, 



» En substituant ces expressions dans les équations (i), la première est 

 satisfaite identiquement; en intégrant la seconde par rapport à u, on 

 obtient 



(3) _L1^:=,UV, 



^ -^ ye au 



ou bien, en réduisant, par un choix convenable de la variable i^, la fonc- 

 tion V à l'unité, 



(4) ■ ^M = u('). 



^ ^ y/e du ^ ^ 



» Désignons par E, G les coefficients de l'élément linéaire ds de la sur- 

 face S; les formules bien connues de M. Darboux {Leçons sur la théorie 

 générale des surfaces, t. II, p. 386) nous fournissent les deux équations 



y r^ j_ d\/'Q I \/g _ _ Il \ ô\l\L I d\fê 



^ ^ ^ "àiT ~ ~ ^ ~dJr ^ ■ ' ^ ~à^ ~ ~~ '^ ~àV 



)) La première fait voir que la surface S appartient effectivement à la 

 classe considérée par M. Bianchi dans son Mémoire cité. En substituant 



dans la seconde les valeurs de y/E et de \fë tirées de la première des équa- 

 tions (5) et de l'équation (4), on remarquera que \/G satisfait à l'équation 

 de Laplace à invariants égaux 



(G) . /» =J^Çv^O 



^ -^ OU Ov i/o- Ou Ov 



(') Si la fonction U se réduit à une constante, la surface S devient une surface de 

 Voss et la surface S Correspondante appartient à la classe de surfaces signalées par 

 M. Guichard. Dans le cas général, on peut réduire U à telle fonction de u qu'on 

 voudra, par exemple à u. 



