SÉANCE DU I r AVRIL igol\. 887 



qui admet les solutions particulières 



1 :i i " 



u' u' u' u' 



ly '/], ^, II étant respectivement les cosinus directeurs de la normale et la 

 distance de l'origine au plan tangent à la surface 1. 



)) La condition (4) peut être mise sous une forme équivalente qui nous 

 permettra, d'indiquer une solution nouvelle du problème des systèmes 

 conjugués persistants. Considérons à cet effet l'équation tangentielle de 

 Laplace 



( ) (^-^ _ J_ ds/^ d^ j_ ds!^ ^ 



^'^ dudv~' Jq dv du ^/ô- du ôç^ 



relative au système conjsigué formé par les lignes de courbure de la sur- 

 face S. En y posant 3- = ^ et en intégrant par rapport à u, on parvient à 

 une relation de la forme (3); par conséquent, les surfaces S de la classe 

 considérée peuvent être caractérisées par la propriété suivante : l'équation 

 tangentielle relative au système des lignes de courbure admet comme solution 

 particulière le coefficient g de V élément linéaire dn de la représentation sphé- 

 rique. On verrait de même que l'équation ponctuelle admet la solution 

 particulière G. Or, l'équation tangentielle (7) admet comme solutions 

 particulières les cosinus directeurs X, Y, Z de la normale; la surface S 

 appartiendra par suite à la classe considérée, si le coefficient g est égal à 

 une combinaison linéaire (à coefficients constants) des trois cosinus X, Y, Z. 

 En choisissant convenablement les axes, on pourra supposer en parti- 

 culier 



(8) ê="~^ 



m 



n, m étant deux constantes dont la seconde peut être réduite à l'unité. 

 Désignons par A' le paramètre difTérentiel du premier ordre relatif à la 

 fprme différentielle quadratique dn'^. Le cosinus directeur Z satisfait à 

 l'équation bien connue A'(Z) = i — Z"; en y substituant la valeur de Z, 

 tirée de l'équation (8), et en tenant compte de l'équation (4), on a 



(9) ■ 4(^y=;^-(^-.f-4U-. 



» L'équation (9) s'intègre aisément et l'on obtient l'expression de g au 

 moyen de fonctions elliptiques dont le module dépend de la variable u. La 

 solution particulière obtenue dépend d'une fonction arbitraire. Le coeffi- 

 cient g étant déterminé, on peut tirer la valeur de e de l'équation (4)- De 



