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d'ordre quelconque. En effet, le nombre des sous-groupes d'un tel groupe 

 d'ordre />^'/>"' .. . p'^;>- (pi^p-i, . . .,/?>, élant des nombres premiers différents) 

 est le produit des nombres des sous-groupes dans le groupe d'ordre /^^', 

 p"-, . . ., pi^ contenus dans G. Ceci est également vrai pour le nombre des 

 sous-groupes caractéristiques de G. Dans ce paragraphe, l'identité et le 

 groupe entier sont compris dans le terme sous-groupe. 



» Si s^ et .Ço représentent deux opérations non commutatives d'ordre 

 quatre telles que 5,5^=: i , il est facile de voir que 



S]sl=: S^S2= (^2^,)"'- 



» De là ^,,52 sont les générateurs d'un groupe dont l'ordre est ou deux 

 fois l'ordre de .9,50 ou quatre fois cet ordre. Ce groupe est complètement 

 défini en donnant l'ordre de ^,^2 ^^ en faisant connaître si 5^ est une puis- 

 sance de 5, s., ou non. Si ^^ est une puissance de ^,^0, et si l'ordre de s^ s.^ 

 est 2k (^ = 2, 3, . . ., Qo), G contient un sous-groupe circulaire d'ordre 2.k, 

 et 2.k opérations additionnelles d'ordre quatre qui transforment toutes les 

 opérations de ce groupe circulaire en leurs inverses. Ce système comprend 

 tous les groupes non circulaires d'ordre/?'", lesquels contiennent seulement 

 un sous-groupe d'ordre /r^, o <^.ç <^ m ('). Si ^^ n'est pas une puissance de 5,50, 

 les opérations .v,, ^o engendrent un système de groupes d'ordre l{k 



qui se compose du produit direct d'un groupe circulaire d'ordre;^' et d'une 

 opération d'ordre 2, plus les 2/* opérations d'ordre 4 qwi transforment 

 toutes les opérations de ce produit direct en leurs inverses. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su7' les équations delà Géométrie et la théorie 

 des substitutions , Note de M. Ed. Maillet, présentée par M. Jordan. 



« I. On sait (^) que si une équation algébrique à coefficients réels 

 possède iJc racines imaginaires exactement, son groupe contient une substi- 

 tution d'ordre ikk cycles permutant 2 à 2 les racines imaginaires conju- 



(') BuRNSIDE, toc, cit., p. 75. 



(2) Association française pour l' avancement des Sciences, Mémoire du Congrès 

 de Sainl-Etienne, 1897, P- '90- 



