SÉANCE DU II AVRIL I904. 89I 



guées. Ce résultat comporte un certain nombre d'applications aux équations 

 de la géométrie. 



» IL Nous nous aidons du théorème suivant, qui comprend comme cas 

 particuliers plusieurs théorèmes de M. Jordan ('). 



» Soient les congruences 



^p + ^p -*-••• + ^p"''^ o (mod/) 



(p = I, 2, . . ., y, r, r, donnés, /•, ]> 2), et r'^ lettres caractérisées par les 

 q indices x^,œ■2, ..,,Xç(moâr), Soit C un système quelconque de ces /\ lettres, 

 distinctes ou non, dont les indices forment une solution de ces congruences. 

 » Quand r est une puissance exacte d'un nombre premier, l'ensemble 

 des substitutions entre les r^ lettres qui permutent entre elles toutes ces 

 combinaisons G est le groupe T dérivé du groupe G' des substitutions 

 linéaires homogènes 



\x,,...,Xq, rt|a;, +... + <2'/^,p ..., «J,£!7, -h...-h aj^^l (mod^) 



et du groupe G' des substitutions 



OÙ a,, . ., apprennent (modr) toutes les valeurs possibles multiples de^» 



§ étant le plus grand commun diviseur de r et r, . 



» Ce théorème est encore exact quand r, = 3, ^ = 3, ;'= 6. 



)) lîl. Notre propriété I pose la question de la détermination de la classe 

 des substitutions d'ordre 2 ou même delà classe d'un groupe quelconque, 

 en vue des applications à la théorie des équations et à la géométrie. On 

 peut indiquer une méthode générale qui, appliquée à chaque groupe, per- 

 mettra de résoudre la question, ou au moins de trouver des conditions 

 nécessaires auxquelles doivent satisfaire la classe de ces substitutions 

 d'ordre 2. Les substitutions (d'ordre 2 ounori) du groupe linéaire général non 

 homogène de degré p^'^ à n indices (mod p^) déplacent nécessairement o'^" ou 



lettres, avec i,^ = o, 1, 2, ..., ou ti — i, i,,i_,, ..., i^^, égaux à o, 1,2, ..., oun. 

 Ce groupe est de classe /?^" — /;^"~ ' . 



» Quand [;- = i et/?> 2, les substitutions d'ordre 2 déplacent/?'^"* (yo'^ — i) 

 lettres (^ = 1, 2, ..., ou 11 — i); il y en a de chacune de ces classes. 



(^) Jordan, Traité des substitutions, Livre III, Chapitre IIL 



