SÉANCE DU l8 AVRIL 1904. 9^1 



autre caractéristique régulière Y =$(5?, S), <l^ étant analytique par rapport 

 à'^ et satisfaisant aux conditions 0(o, S) = 9(0) et $(/>, S) — ©(6)= ^. 

 )) Du théorème I on peut déduire d'une façon générale : 

 )) Théorème IL — Si l'équation (i) [la condition (2) étant remplie] 

 admet deux caractéristiques régulières passant l'une par les points O(o,o) et 

 Pi(b, a,) et Vautre par 0(o, o) et V^{b, oi^), elle admet une caractéristique 

 régulière passant par les points 0(o, o) et V{b, a), oc étant compris entre a, 

 et a.2 ; 



» Et ensuite : Théorème III. — Soit 



(ibis) r = A(x,y)y---^B(x,y)y+C(x,y)=/(x,y,y), 



r inégalité (2) étant vérifiée. Si V équation ( i bis) admet une caractéristique 

 régulière pour toute valeur finie dex, on pourra toujours en faire passer une 

 par deux points quelconques du plan. Ainsi, par exemple, si C (x, y) contient 

 y en facteur, il passera une caractéristique par deux points quelconques, 

 puisque y = o est une caractéristique régulière. 



» On démontre les théorèmes II et III en remarquant que les rayons 

 de convergence par rapport au paramètre arbitraire ne peuvent tendre 

 vers zéro. Une conséquence du théorème III est que toutes les solutions 

 réelles de l'équation (i bis) sont des Jonctions uniformes de x. Cette dernière 

 proposition peut d'ailleurs être obtenue directement. Si l'on fait de plus 

 C(^, j) = o, X devient à son tour une fonction uniforme de y, et en 

 général : 



» Théorème IV. — Soit y" z=. f(x^ j, y), f étant une fonction analy- 

 tique pour toute valeur réelle finie x, y et y' . Pour que toutes ses caractéristiques 

 définissent une correspondance biuniforme entre x et y il faut et il suffit que j 

 tende vers zéro avec y' et que pour y' infini elle croisse moins vite que y'^. 



» On ne peut pourtant pas affirmer que dans ces conditions il passe 

 nécessairement une caractéristique et une seule par deux points quel- 

 conques. Pour qu'il en soit ainsi il suffit que la condition (2) soit remplie. 

 On est ainsi conduit à des équations dont les caractéristiques présentent 

 une analogie remarquable avec les lignes droites. Pour être complet il fau- 

 drait faire l'étude de ces caractéristiques au point de vue du postulatum 

 d'Euclide. » 



