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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su7' une série analogue aux fonctions 

 modulaires. Note de M. Lerch, présentée par M. E. Picard. 



« La série suivante dépendant du paramètre réel co, 



. y/ \ V^ COlVOJTC 



(0 fy'')=li C2.r.Y-'n--^ ' 



V—ï 



est dépourvue de sens, si w est un nombre rationnel; elle est convergente 

 pour m^i, si eu est racine d'une équation quadratique aux coefficients en- 

 tiers, et plus généralement, pour toute quantité irrationnelle algébrique 

 donnée co, dés que m surpasse ime certaine limite. 



» Si la série f{<^^) est convergente pour une quantité w, algébrique ou 

 transcendante, elle le sera aussi pour toute quantité o/, équivalente à co 

 dans le sens de Lagrange, et la quantité /(w') s'exprime linéairement 

 par J (o)) et rationnellement par co. 



)) Désignons par (— i)'"'p(co) le coefficient de x-"^ dans le développe- 

 ment, suivant les puissances de la variable a?, de la fonction 



( e-*-' — I ) ( e'^'^ — I ) ' 

 alors on a la relation 



(2) /■(„) + „-y^^j = ç(„) 



qui, jointe aux relations évidentes : 



fournit l'expression cherchée de /(co'). 

 » Soit 



^ + i/s/d 



une unité quadratique, c'est-à-dire que les entiers^, u satisfont à l'équation 

 de Fermât t'- — du- = 4^, s =: ± i ; alors l'équation (2) donne 



/(co)=^^^, 



-^ \ ^ I — EOJ-'" 



et cette formule permet de conclure que le produit J (o>)\/d est un nombre 



rationnel. Par exemple, faisant co = — ^ on aura 



' 2 



00 

 ,— •^ COlvCOTI 8 



^~^2d (2vt:)^ ~ "" Tôl' 



