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» En faisant tendre <-> vers une limite rationnelle -> le passage à la 



limite s'effeclue aisément; on obtient de la sorte certaines réciprocités 

 algébriques dont la plus simple est celle de m = i : 



y cot '-^ cot — cosec- ^ + - y cot ^-^— cot — cosec- — = '—^. — i—L- 



» On peut se servir de la formule (4) même pour des valeurs ra- 

 tionnelles to = -> en bornant chacune des deux séries à un nombre 



q 



restreint des termes, pourvu que les deux entiers p ei q soient d'une 

 certaine grandeur. Ce procédé d'approximation présente même des avan- 

 tages sur l'emploi de la formule finie 



B,„+i(oj-'"+-+i) I -yry fim 



^ \ y ( 2 /« + 2 ) ! to ( 2 /?i 4- 2 ) ! -^ \ 2 V / ^ 



2V-1 



V=;l 



dès que m surpasse une certaine limite. 



)) La série (i), que je désigne désormais par /o,„4-, (co), paraît avoir 

 quelque importance dans l'arithmétique approximative. Considérons en 

 effet les polynômes bernoulliens, modifiés par la présence du terme 

 constant lorsque n est impair, 



V=l 



en désignant par u et m deux quantités réelles, la seconde étant irration- 

 nelle, choisissons l'entier positif r tel que le plus petit reste absolu 



S 



rco 



b^ + î] 



soit très petit, et posons x^=. u -\~ ^i^ù — [« -i- vw], de sorte que o <Cx^<^i', 

 alors la somme 



r- 1 



(5) ^n=^%{-^.) 



v=o 



sera elle aussi très petite, au moins si la série 



T 



^ Â''^+' sin A' (DIT 



k 



est convergente. 



» Dans le cas de m =: o, l'introduction des séries /(œ) permet de 

 pousser l'approximation beaucoup plus loin, comme on peut aisément s'en 

 rendre compte. » 



