(y)G ACADÉMIE DES SCIENCES. 



si (j/a) et (z//^) subissent les mêmes substitutions (A//.) lorsque x franchit 

 les coupures /^ On aura alors 



où les /'//, sont des tondions rationnelles. Dans un Mémoire qui paraîtra 

 prochainement, et dans lequel nous traçons d'une manière nouvelle les 

 fondements de la théorie des systèmes d'équations linéaires, nous démon- 

 trons le théorème suivant : 



» On peut déterminer les r,/, de façon que (z/,,) el ( r,/.) appartiennent à la 

 même classe, que {z^,,) n'ait pas de point à apparence singulière, que (s,/.) se 

 réduise à la matrice unité (S,/,) pour x = x^ et que les éléments de la ma- 

 trice T>(zi,,) n'aient aux points a^, . . ., «7^, ce que des pôles du premier ordre. 

 Le système différentiel, dont les (z^/,) constituent une matrice intégrale a donc 

 la forme 



(3) ^ = i;.,2-l^^ (.■ = ,..,...,«), 



), = 1 V = 1 



es B)^). étant des constantes, et la matrice (s,,,) se trouve déterminée d'une manière 

 unique, aussi bien que le système (3), par les exposants relatifs aux points 

 singuliers, c' est-à-dire var les racines des équations déterminantes 



(4) iBir-s,AH = o (v = i,2, ...,^), 



(i, k = i, 2, .. ., fi). 



)) Les éléments des matrices (A ■](.') sont, d'après un théorème de M. Poin- 

 caré (Acta math., t. IV, p. 212) des fonctions entières des coefficients B|^.*. 

 Si l'on suppose d'ailleurs que les A|^.' soient indépendantes des affixes des 

 points singuliers a,, ..., a^, les théorèmes que j'ai démontrés dans mon 

 Mémoire du Tome 124 du Journal de Crelle (p. 292 et suiv.) déterminent 

 immédiatement la manière dont la matrice (^,a) se comporte, quand on 

 fait décrire par les points a^, . . .,a^ des chemins fermés quelconques. Mais 

 le rôle fondamental qu'il faut attribuer au théorème que je viens d'énoncer 

 consiste en ce qu'en vertu de ce théorème on réussit à démontrer l'exis- 

 tence des fonctions satisfaisant au problème de Riemann (voir Comptes 

 rendus, 7 mars 1898), sans qu'il soit nécessaire d'imposer aux substitu- 

 tions (A l"^.*) données les restrictions que j'ai nommées les conditions de conver- 

 gence. )) 



