Il4H ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le connexe linéaire dans Vespace à n — i 

 dimensions. Note de M. Léo\ Autonne, présentée par M. Jordan. 



« J'ai consacré au connexe linéaire dans l'espace à trois dimensions 

 (^/i = 4) les qnalre premiers Chapitres de la seconde Partie, dans mon 

 Travail Sur les formes quaternaires à deux séries de variables (inséré aux 

 Mémoires couronnés et Mémoires des sa^'anis étrangers, publiés par l'Aca- 

 démie de Belgique, t. LIX, 1901). Je passe au cas général n ~ \, o\x n est 

 quelconque. 



» Prenons (terminologie de Frobenius, aujourd'hui classique) la matrice 

 /i-aire A = [û!ap], ««p = const., {a, p = i , 2, . . . , /zj et le connexe linéaire X 

 ayant pour équation 



k{x\ u) —^a^f^u^x^= o. 



Nommons rt, b, c, ... les racines distinctes de l'équation caractéristique; 

 soit 



^{r) = (r- rt)^(r-ay-....(r- ap^'(r - bf^ . . . = n(r — ly- 



V *o = '^M = • • • = "^Â— I i Ho =••• = •••/ ' 

 11 = y.^ -h... a/^-_, 4- P„ -r . . . = A< ; 



la fonction caractéristique, décomposée en ses Elemenlartheiter (Weier- 

 strass). 



» Un choix a|)proprié de coordonnées met en évidence les propriétés 

 suivantes : 



» Au facteur (r — /)^' de A(/') correspondent : i*^ une matrice A }.-aire 

 composante; 2" 2I variables Zj et Wj \j = i,2,...,l\, choisies parmi les 'in 

 variables x et u. On a 



A(z; w) = llziv -+- i\'iZ.^ -+-...-+- (r),_,:;x et A(x;u) = lX{x',\v), 



où la sommation s'étend à toutes les composantes A. Les diverses A, oh l 

 est égal à une même racines, iorinm^onlY hypersystème {a^. Dans chaque A, 

 on nommera paramètre fondamental la variable z^ et la variable W\. 



w 11 y a oc''"'' points fondamentaux E^, fournis par la racine a. On les 

 obtient par la régule suivante : 1^ dans chaque A, qui n'appartient pas à (a), 



