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ANALYSE iMATHÉMATIQUE. — Sur les fondements d'une théorie systématique 

 des fonctions sphériques. Note de M. Niels JXielsen, présentée par 

 M. Emile Picard. 



« L'introduction historique des fonctions sphériques de la première 

 espèce comme les coefficients d'une certaine série infinie est peu naturelle, 

 parce qu'il faut introduire en outre les fonctioRs de seconde espèce pour 

 pouvoir donner une théorie complète des fonctions en question. 



» Or, il est possible de développer une théorie systématique des fonc- 

 tions sphériques en suivant une métliode analogue à celle que j'ai appliquée 

 dans mon Traité des fonctions cylindriques ( * )• A cet égard nous définissons 

 la fonction sphérique R^'"(a7) de l'argument x, de l'indice n et du para- 

 mètre V comme la solution la plus générale de ces deux équations fonc- 

 tionnelles 



(2) 2(/^ + v)^R^''(a7) =(/i-4-i)KV'+«(^) 4-(/i — i-i-2v)K^''"-^(^); 



nous supposons toujours que n soit un entier non négatif; mais il est 

 évident que la résolution suivante des deux équations susdites est appli- 

 cable pour une valeur quelconque de n. 



» Ajoutons les équations (i) et (2), nous aurons évidemment 



(3) (i — £c=^)D^K"'X^) = - nx-K'^'^x) + (/z - 1 + 2v)Iv^"-'(.îr), 



équation qui peut remplacer chacune des équations originelles (i) et (2). 

 » Pour déterminer ensuite la fonction sphérique la plus générale, consi- 

 dérons tout d'abord le cas particulier où K'" (^) est supposée analytique 

 quand on la regarde comme fonction de x, hypothèse qui nous permet de 

 différentier par rapport kx l'équation (i), ce qui nous conduira, en vertu 

 de (3), à ce cas particulier de l'équation de Gauss 



(4) (i — ^-)D; K"'«(^) — (i + 2v)^D^ K^'"(^) 4- n{n -i-^2v) K^'"(^) = o ; 



c'est-à-dire que notre cas particulier des fonctions sphériques n'a, dans 

 toute l'étendue du plan des x^ que ces trois points singuliers : x=^-\-iy 

 x= i el X = ce. 



(') Handbuch der Théorie der CyUnderfunklionen; Leipzig, 1904. 



