SÉANCE DU 3o MAI 1904. 1829 



» Supposons (l'abord lar-] <^ i, nous obtenons ces deux intégrales parti- 

 culières de (4) : 



f r., =r= a? . F y 1- V, -, .oc- 



\ '' ~ \ 2 2 2 



OÙ F(a, p, y, .t) désigne la série hypergéométrique ordinaire. 



» Supposons ensuite \x\ ^i, nous aurons, en vertu de (4), pour la 



fonction js = R''''*(- j, cette équation différentielle : 



(4 bis) x-(i — x'^)z^'^^ -h (i — 2v — 2.r^)^^^'^ — n(n -h 2v)5 = o, 



équation qui admet comme intégrales particulières ces deux séries hyper- 

 géométriques : 



^ =^ X \b l > — -, 1—71 — V, X- 



(5his) • \ 2 2 



I z, = x"^-\¥r^^-hy, ^ -hv, i-^n-h^, x' 



» Cela posé, il nous reste encore à déterminer, à l'aide de ces inté- 

 grales particulières, la fonction sphérique susdite qui est fonction analy- 

 tique de X. Dans le premier cas, o\i\x\<Cii, il faut évidemment considérer 

 une combinaison linéaire des deux intégrales particulières y, etjK2» savoir 



A(v, /?)j, -hB(v, 7i)j,; 



un simple calcul montrera que cette fonction satisfait à (t) et (3) à la fois, 

 pourvu que nous posions 



^(^'""^^ni (^'(''^)' B(v, /?.) = : ^^-^^co(v,/z-f-T), 



r( - +1 1 r( ^ 



où (o(v,72) désigne une fonction qui est assujettie à satisfaire à cette con- 

 dition de périodicité : 



o)(v, 7? -h 2) = — o>(v, n), 



mais étant du reste complètement arbitraire. 



» Cela posé, il est évident que nous obtenons ces deux fonctions sphé- 



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