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n'ques très simples et indépendnntes entre elles : 



[n \ iiTz ,/« + ! \ . riTz 



r( f-vjcos — 2.11 — — ■+vjsin — 



P^- " (x) = -^ / ^ r, H ^ ^ , / , Y. , 



r(v)r -+i) r(v)r' 



(^^) 



2 / ■ ' \ 2 



_ /// 4- I , 



4- V cos 



\v,"/'o.A — ^lT L t- V -I !^ 



nr. 



Qr'(.^-) = ^Tfrt^-^' " r^"'^-^ ^ "- 



» Dans le second cas, où | £i? | >• i , nous aurons de la même manière ces 

 deux fonctions sphériqnes particulières : 



^ ^ /i ! r ( V ) \ 2 2 ,37' 



(6 6w) 



2«-lr(rt + H-v) V 2 '2 ,3^5 



nous montrons en effet que les deux définitions données pour P^'"(^) 

 coïncident, pourvu que n soit un entier non négatif. 



» Après avoir déterminé ces fonctions sphériques particulières, il reste 

 à résoudre complètement les deux équations fonctionnelles (t) et (2) et à 

 donner ensuite pour la fonction Ç^''\x) une expression analytique qui est 

 applicable dans toute l'étendue du plan des a; à l'exception des trois points 

 singuliers a7 = H-i,^ = — i eta7=co. Quant à V^^" {x), elle est un poly- 

 nôme entier du degré 7^ de a? et, par conséquent, complètement définie. » 



MÉCANIQUE. — Sur le rendement du joint universel. 

 Note de M. L. Lecorxu, présentée par M. Léauté. 



« La théorie cinématique du joint universel, appelé aussi joint de Car- 

 dan, est connue depuis longtemps; mais je ne crois pas qu'on ait cherché 

 à évaluer son rendement. La question présente cependant un certain inté- 

 rêt, en raison des applications récentes de cet appareil dans l'automobi- 

 lisme et dans le train Renard. Je me bornerai ici au cas où les rayons r des 

 tourillons sont très petits par rapport à leur distance R au centre du joint 

 et je supposerai les mouvements assez lents pour que l'influence des forces 

 d'inertie soit négligeable. 



» Prenons provisoirement R comme unité de longueur et soit A l'angle 



