SÉANCE DU 6 JUIN 1904. i/^oi 



CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les expressions formées de radicaux 

 superposés. Note de M. Paul Wier\sberger, présentée par M. Appell. 



« I. Développements infinis pour le sinus et le cosinus. - Dans une précé- 

 dente Note (^) j'ai considéré des expressions de la forme 



(1) \/2 + £, V2 + £, v/2 -H..., \t/^\ = l, 



et j'ai prouvé leur convergence, dans le cas où les z^ se reproduisent pério- 

 diquement. Depuis lors, j'ai réussi à établir une relation simple entre cer- 

 taines séries numériques et les expressions (i), avec ou sans périodicité, 

 conduisant à des développements infinis pour le sinus et le cosinus qui 

 sont, je crois, entièrement nouveaux. 



» 1. Si o^a;^!, on peut toujours mettre le nombre a? sous la forme d'une 

 série absolument convergente 



(2) x='-^'n,^^-\-r,.,^^ 4_...+ .^^_^ J_ +..., |'^a1 = I- 



» Ce développement est unique, à moins que x soit une fraction irré- 

 ductible dont le dénominateur est une puissance de 2; alors il y a deux 

 développements différents. Les signes se reproduisent périodiquement, à 

 partir du premier, si x est une fraction irréductible dont le dénominateur 

 est impair; ils ne se reproduisent périodiquement qu'après un certain rang 

 si ce dénominateur est pair. Enfin il n'y a aucune périodicité si x est 

 incommensurable. On peut d'ailleurs déterminer les signes en remarquant 

 que 'fih est égal à H- 1 ou à — i selon que le numérateur de la valeur 



approchée de x, à -^- près par défaut, est impair ou pair. Il est aussi facile 



d'établir une certaine corrélation entre ces développements et le système 

 binaire de numération. 



(^) Comptes rendus, 28 décembre 1900. 



C. R., 1904, I" Semestre. (T. CXXXVIII. N" 23) I02 



