ll\02 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



•» 2. Le nombre x étant défini par la série (2), on a 



(3) 



en posant 



\ Sin ^^=^- ^VH 4-c,V2 H-...+ ÎA\/2 



COS -X = - 



1 1 



\ 1 — £,V2 +...+ £aV2 



■^A= £<£2- • -Sa (A = I, 2, 3, . . .). 



» En limitant les formules (3) aux h premiers radicaux, l'erreur com 

 mise est moindre que 2 sin-^- On a aussi 



^2- .,V^ 



sinTTo; = - V 2 -■ 2^ V 2 H-. • .H- £^\/2 



cos 



7:0; = — - £, y 2 + £2 V 2 + . . . 4- £/, s/"^ +■ ■ 



» Ces développements sont uniques pour toutes les valeurs de x qui ne 

 sont pas d^s fractions irréductibles ayant pour dénominateur une puis- 

 sance de 2. 



» II. Convergence. — En cherchant à généraliser les résultats auxquels 

 j'étais parvenu relativement à la convergence des expressions (i), je me 

 suis demandé s'il n'existe pas de conditions de convergence pour les 

 expressions de la forme 



(4) \7 «, + £, y a. + . . . 4- £/i_, V'a^ -h . . . , I £/, I = [ , 



où n est un entier ^ 2 et où les af^ signifient des nombres positifs tels que 

 les expressions placées sous chacun des radicaux soient positives, ces radi- 

 caux étant d'ailleurs pris avec leur valeur arithmétique. Voici les princi- 

 paux résultats auxquels je suis parvenu. 



» 1. Si tous les tf^ sont positifs, la condition nécessaire et suffisante pour 

 que l'expression (4) soit convergente est que les nombres a^ satisfassent 

 tous à rinégalité 



(5) «" <^ A (A = i, 2, 3, . . .), 



A étant un nombre fini quelconque. 



