l48o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



à l'origine, pour rayon | X„ |, et tel qu'à l'extérieur de ce cercle on ait : 



p(^x) = [(m-h i)b -{- t]os"\ |£|<;-r-7^' ( I ^^ nombre donné j. 



a?, étant un point critique quelconque, on peut calculer une valeur appro- 

 chée de l'une quelconque z des deux branches qui s'annulent en x^. 

 Traçons un cercle 1 de centre O et de rayon olcc^ (a. <[ i). On a : 



jn+ 1 



à l'extérieur de 1 z = (b -+- £)(^"'"*' — .%^'"^') + £,^' 



à l'intérieur de 1 | ^ | ^ Xj ,r, 1"'"^', 



I £ I et I sj étant inférieurs à -î pj A et X restant fixes, lorsque | ^c, | croît, 



)) Il résulte de là que z ne saurait s'annuler qu'au voisinage des racines 

 (m -+- i)i<'m'^s de cc"'^* . Soit a une telle racine, y et y' deux nombres arbitrai- 

 rement petits. J'ai vérifié qu'à partir d'une certaine valeur dejo^J.la 

 branche d'intégrale z s'annule, d'une part, dans le cercle de centre a. et de 

 rayon | a j^ et ne saurait, d'autre part, s'annuler deux fois dans le cercle de 

 rayon | a. |'~^'. En d'autres termes, si nous partons d'un point œ^ intérieur 

 à 1 avec une même détermination y'^o, et si nous balayons le plan en faisant 

 tourner autour de a?^ une droite x^œ, nous ne rencontrons ainsi que 

 m H- i points critiques, respectivement voisins des zéros de x'"'^^ — x"'^\ 

 Si, par chacun de ces m -{- i points critiques, nous menons une coupure recti- 

 ligne allant à l'infini, l'intégrale qui admet la valeur initiale sjz^ déifient une 

 fonction uniforme de x dans tout le plan. 



» Nous appellerons branche d'intégrale la fonction ainsi définie, x^, . . ., 

 ^,„+, ses points critiques. Lorsqu'on tourne autour d'un nombre fini de 

 points critiques, on obtient une nouvelle branche ayant ses points critiques 

 respectivement voisins dex^, .. ., £r,„+,, en sorte que l'on peut, sans ambi- 

 guïté, les affecter respectivement des mêmes indices i, . . ., m -h i . 



« Quasi-périodes. — Lorsqu'on décrit un contour fermé issu de x^^ et 

 entourant un point critique d'indice i, puis un point critique d'indice 2, 

 z augmente de w. On peut vérifier que, si l'on décrit n fois de suite un tel 

 contour, z augmente de (i + £)/zco, (| sj étant arbitrairement pelit si l'on 

 prend \Xf^\ assez grand). L'accroissement w constitue un type de quasi- 

 période pouvant être ajoutée ou retranchée. Il y aura, en général, pour les 

 intégrales de (3), m types différents de quasi-périodes, le plus souvent non 

 commutables (ce qui veut dire que la valeur d'une somme algébrique de 



