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lieu, dans ces dernières iuinées, à de nombreux travaux. Il me semble 

 intéressant de montrer que la réciproque énoncée (si elle est vraie dans 

 des cas fort étendus) n'est pas toujours vraie. J'indiquerai en effet dans 

 cette Note un exemple fort simple où une position régulière d' équilibre est 

 stable, bien que la fonction de forces prenne dans le voisinage de cette position 

 des valeurs de signes contraires . 



» Considérons un point matériel M de masse tn, soumis à une force X, 

 Y, Z dérivant du potentiel U(a7, y, z). Les équations du mouvement sont : 



, . d-'jc ^ d\J d^v ^, d\} d'z „ 0\] 



(i) m-^ = X=-, „,_=Y = -^, „,__=.Z = -^. 



» Une position régulière du système est, par définition, une position 

 (•^o'/oj^o) ou Mq de M, telle que les fonctions X, Y, Z et leurs dérivées 



., ^X ^X dZ . , , • . ,;r •• • . 



premières -y-> -r-) - • • ■> -jz soient continues quand le point M coïncide avec 



le point Mo ou s'en écarte très peu. Les conditions initiales x=^x^^, y=yQ, 

 z ^= z,^, x' =. x'^, y =z y'^^ z' z=. z\^ pour t=^t^^ définissent un mouvement et 

 un seul, quand la position (a?, Vq, z^') est régulière, 



c -, ^ ... . ,.. I n ^U JU im 



» boit X ■=^ y ^=^ z := o une position régulière pour Jaquelie y-;? .^5 -ré- 

 sout nuls. C'est une position d'équilibre du point M; il est loisible de sup- 

 poser que U s'annule pour ^- := y = ^ = o. Je vais former un exemple oîi U 

 prend (dans le voisinage de l'origine) des valeurs de signes contraires, 

 bien que l'origine soit position d'équilibre stable. 



wConsidéronsd'abord unpoiatM mobilesnrOa^etsoumisàlaforce X^= y-? 



où U = — ic^ sin -• La position j? = o est une position régulière, car U, U^., 



U^., restent continus quand o; varie de — £ à + e et s'annulent pour x =. o. 



De plus, IJ(^) est une fonction paire, positive si ikr^ <^ , — ; <^ (2X* H- i)-, 



I -^ I 



négative si (2X; -i- 1)7: <; -. — r <;(^l>^• + 2)7: [k entier = 0). La fonction U est 



donc positive et négative pour des valeurs deo; aussi petites que l'on veut. 

 )) D'autre part, la position x = o est une position d'équilibre stable du 

 point M. En effet, l'intégrale des forces vives donne ici 



(-) x"- = X' sin — h vt';' — x" sin — = x'' sin — h h. 



