SÉANCE Di: 20 JUTN IQO/^. l557 



» Posons r//. — et marquons sur l'axe des op les points 



( ç> A- H- I ) ir -h - 

 ?. 



.Tf,= a,,, ^' A= ~ ^A (^ entier positif arbitraire). Pour ,t = dz a,,, le second 

 membre de l'équation (2) se réduit à [h — a^). D'après cela, si h est né- 

 gatif ou nul, X ne peut sortir de l'intervalle ^r^t» ^;t+t (ou ^-;t, a7_(;f^,)) qui 



1. 



comprend a^^. Si h est positif, choisissons a,, supérieur à la fois à ^^ et à A^ : 

 le point X ne peut sortir de l'intervalle Xf^, x_j^. 



)) On voit donc que x, dans tous les cas, restera compris dans un inter- 

 valle qui tend à se réduire à l'origine quand h tend vers zéro. Autrement 

 dit, £ étant pris d'avance positif et aussi petit qu'on veut, x et x' (dans le 

 mouvement) resteront compris entre -h £ et — £, dès que|a;o| et \x'q\ 

 seront suffisamment petits. L'équilibre est stable. C. Q. F. D. 



» Soit maintenant M mobile dans l'espace et soumis à la force • 



(3) U= ''l(x'<>m--Y'-z^]; 

 les équations du mouvement sont : 



1 x" ^ -( ^x'' sin .r'cos - ) 



\ 2 \ X X J 



(4) \y'^^y^ 



^ z"= — z. 



» L'origine est évidemment une position d'équilibre stable, car on peut 

 intégrer séparément chacune des équations (4), et a:, x\y, y', s, z' restent 

 compris entre -f- s et — s, dès que \x^\, \x'^\, l/ol» |jl 1» |-o|' 1 ^-'o I ^^"^^ s"^" 

 fisamment petits. D'autre part, cette position est une position régulière pour 

 laquelle U s'annule, et dans le voisinage de laquelle U est tantôt positif, 

 tantôt négatif. 



» Un point libre soumis à une force dérivant du potentiel U donné par 

 r équation {'i) fournit donc U7i exemple de position {régulière) d'équilibre 

 stable pour laquelle la fonction de forces U n'est pas maxima. 



» Remarquons que, dans cet exemple, il existe une infinité de positions 

 d'équilibre voisines de la position d'équilibre considérée x = y = ^ = o. » 



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